"Sinus" ist eine mathematische Abkürzung für das Verhältnis zweier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, ausgedrückt als Bruch: Die gegenüberliegende Seite Welcher Winkel Sie auch immer messen, ist der Zähler des Bruchs, und die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist der Nenner. Sobald Sie dieses Konzept beherrschen, wird es zu einem Baustein für eine Formel, die als Sinusgesetz bekannt ist und mit der Sie finden können fehlende Winkel und Seiten für ein Dreieck, solange Sie mindestens zwei seiner Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und eine kennen Winkel.
Das Sinusgesetz zusammenfassen
Das Sinusgesetz besagt, dass das Verhältnis eines Winkels in einem Dreieck zur gegenüberliegenden Seite für alle drei Winkel eines Dreiecks gleich ist. Oder anders ausgedrückt:
Sünde (A)/ein = Sünde (B)/b = Sünde (C)/c, wobei A, B und C die Winkel des Dreiecks sind und a, b und c sind die Längen der Seiten gegenüber diesen Winkeln.
Dieses Formular ist am nützlichsten, um fehlende Winkel zu finden. Wenn Sie das Sinusgesetz verwenden, um die fehlende Länge einer Seite des Dreiecks zu ermitteln, können Sie es auch mit den Sinuswerten im Nenner schreiben:
ein/sünde (A) = b/sünde (B) = c/sin(C)
Finden eines fehlenden Winkels mit dem Sinusgesetz
Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Dreieck mit einem bekannten Winkel – sagen wir, der Winkel A misst 30 Grad. Sie kennen auch das Maß von zwei Seiten des Dreiecks: Seite: ein, der dem Winkel A entgegengesetzt ist, misst 4 Einheiten und Seite b misst 6 Einheiten.
Hüten Sie sich vor dem mehrdeutigen Fall des Sinusgesetzes, der auftreten kann, wenn Sie, wie in diesem Problem, die Länge zweier Seiten und einen Winkel haben, der nicht zwischen ihnen liegt. Der mehrdeutige Fall ist lediglich eine Warnung, dass unter diesen spezifischen Umständen zwei mögliche Antworten zur Auswahl stehen könnten. Sie haben bereits eine mögliche Antwort gefunden. Um eine andere mögliche Antwort zu analysieren, subtrahieren Sie den gerade gefundenen Winkel von 180 Grad. Addieren Sie das Ergebnis zum ersten bekannten Winkel, den Sie hatten. Wenn das Ergebnis weniger als 180 Grad beträgt, ist das "Ergebnis", das Sie gerade zum ersten bekannten Winkel hinzugefügt haben, eine zweite mögliche Lösung.
Geben Sie alle bekannten Informationen in die erste Form des Sinusgesetzes ein, die sich am besten zum Auffinden fehlender Winkel eignet:
Sünde (30)/4 = Sünde (B)/6 = Sünde (C)/c
Wählen Sie als Nächstes ein Ziel aus; Finden Sie in diesem Fall das Maß für den Winkel B.
Das Aufstellen des Problems ist so einfach wie das Gleichsetzen des ersten und zweiten Ausdrucks dieser Gleichung. Um die dritte Amtszeit muss man sich jetzt keine Sorgen machen. Also hast du:
Sünde (30)/4 = Sünde (B)/6
Verwenden Sie einen Taschenrechner oder ein Diagramm, um den Sinus des bekannten Winkels zu ermitteln. In diesem Fall ist sin (30) = 0,5, also haben Sie:
(0.5)/4 = sin (B)/6, was vereinfacht zu:
0,125 = sin(B)/6
Multiplizieren Sie jede Seite der Gleichung mit 6, um die Sinusmessung des unbekannten Winkels zu isolieren. Dies gibt Ihnen:
0,75 = Sünde (B)
Finden Sie den inversen Sinus oder Arkussinus des unbekannten Winkels mit Ihrem Taschenrechner oder einer Tabelle. In diesem Fall beträgt der umgekehrte Sinus von 0,75 ungefähr 48,6 Grad.
Warnungen
Eine Seite mit dem Sinusgesetz finden
Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Dreieck mit bekannten Winkeln von 15 und 30 Grad (nennen wir sie A bzw. B) und die Seitenlänge ein, der dem Winkel A gegenüberliegt, ist 3 Einheiten lang.
Wie bereits erwähnt, ergeben die drei Winkel eines Dreiecks immer 180 Grad. Wenn Sie also bereits zwei Winkel kennen, können Sie das Maß des dritten Winkels ermitteln, indem Sie die bekannten Winkel von 180 subtrahieren:
180 - 15 - 30 = 135 Grad
Der fehlende Winkel beträgt also 135 Grad.
Tragen Sie die Informationen, die Sie bereits kennen, in die Sinussatzformel ein, indem Sie die zweite Form verwenden (die am einfachsten ist, wenn Sie eine fehlende Seite berechnen):
3/Sünde (15) = b/sünde (30) = c/sin(135)
Wählen Sie die fehlende Seite aus, deren Länge Sie ermitteln möchten. Finden Sie in diesem Fall der Einfachheit halber die Länge der Seite b.
Um das Problem zu lösen, wählen Sie zwei der im Sinusgesetz angegebenen Sinusbeziehungen: Diejenige, die Ihr Ziel enthält (Seite b) und diejenige, für die Sie bereits alle Informationen kennen (das ist Seite .) ein und Winkel A). Setzen Sie diese beiden Sinusbeziehungen gleich:
3/Sünde (15) = b/sin(30)
Jetzt auflösen nach b. Beginnen Sie, indem Sie Ihren Taschenrechner oder eine Tabelle verwenden, um die Werte von sin (15) und sin (30) zu finden und sie zu füllen in Ihre Gleichung (für dieses Beispiel verwenden Sie den Bruch 1/2 anstelle von 0,5), was ergibt Sie:
3/0.2588 = b/(1/2)
Beachten Sie, dass Ihr Lehrer Ihnen sagt, wie weit (und ob) Sie Ihre Sinuswerte runden müssen. Sie könnten Sie auch bitten, den genauen Wert der Sinusfunktion zu verwenden, der im Fall von sin (15) sehr unordentlich ist (√6 – √2)/4.
Vereinfachen Sie als Nächstes beide Seiten der Gleichung und denken Sie daran, dass das Teilen durch einen Bruch dasselbe ist wie das Multiplizieren mit seiner Umkehrung:
11.5920 = 2_b_
Wechseln Sie der Einfachheit halber die Seiten der Gleichung, da Variablen normalerweise auf der linken Seite aufgeführt sind:
2_b_ = 11.5920
Und schließlich beenden Sie die Lösung für b. In diesem Fall müssen Sie nur beide Seiten der Gleichung durch 2 teilen, was Ihnen Folgendes ergibt:
b = 5.7960
Die fehlende Seite Ihres Dreiecks ist also 5.7960 Einheiten lang. Sie können genauso gut das gleiche Verfahren verwenden, um nach Seite zu lösen c, wobei der Term im Sinusgesetz gleich dem Term für side. gesetzt wird ein, da Sie die vollständigen Informationen dieser Seite bereits kennen.