Arten des Denkens in der Geometrie

Geometrie ist eine Sprache, die Formen und Winkel diskutiert, die in algebraischen Begriffen vermischt sind. Geometrie drückt die Beziehungen zwischen eindimensionalen, zweidimensionalen und dreidimensionalen Figuren in mathematischen Gleichungen aus. Geometrie wird häufig in den Ingenieurwissenschaften, der Physik und anderen wissenschaftlichen Bereichen verwendet. Die Studierenden erhalten Einblick in komplexe naturwissenschaftliche und mathematische Studien, indem sie lernen, wie geometrische Konzepte entdeckt, begründet und bewiesen werden.

Induktives Denken ist eine Form des Denkens, die auf der Grundlage von Mustern und Beobachtungen zu einer Schlussfolgerung gelangt. Wenn es allein verwendet wird, ist induktives Denken keine genaue Methode, um zu wahren und genauen Schlussfolgerungen zu gelangen. Nehmen Sie das Beispiel von drei Freunden: Jim, Mary und Frank. Frank beobachtet, wie sich Jim und Mary streiten. Frank beobachtet, wie sich Jim und Mary drei- oder viermal in der Woche streiten, und jedes Mal, wenn er sie sieht, streiten sie sich. Die Aussage „Jim und Mary kämpfen die ganze Zeit“ ist eine induktive Schlussfolgerung, die durch begrenzte Beobachtung der Interaktion von Jim und Mary erreicht wird. Induktives Denken kann die Schüler dazu bringen, eine gültige Hypothese zu bilden, wie zum Beispiel „Jim und Mary kämpfen oft“. Aber induktives Denken kann nicht als alleinige Grundlage verwendet werden, um eine Idee zu beweisen. Induktives Denken erfordert Beobachtung, Analyse, Schlussfolgerung (Suchen nach einem Muster) und Bestätigung der Beobachtung durch weitere Tests, um zu gültigen Schlussfolgerungen zu gelangen.

Deduktives Denken ist ein schrittweiser, logischer Ansatz, um eine Idee durch Beobachtung und Prüfung zu beweisen. Die deduktive Argumentation beginnt mit einer ersten, bewiesenen Tatsache und baut eine Aussage nach der anderen auf, um eine neue Idee unbestreitbar zu beweisen. Eine durch deduktives Denken gewonnene Schlussfolgerung basiert auf einer Grundlage kleinerer Schlussfolgerungen, von denen jede zu einer endgültigen Aussage führt.

Axiome und Postulate werden bei der Entwicklung induktiver und deduktiver Argumente verwendet. Ein Axiom ist eine Aussage über reelle Zahlen, die als wahr akzeptiert wird, ohne dass ein formaler Beweis erforderlich ist. Zum Beispiel ist das Axiom, dass die Zahl Drei einen größeren Wert besitzt als die Zahl Zwei, ein selbstverständliches Axiom. Ein Postulat ist ähnlich und definiert als eine Aussage über die Geometrie, die ohne Beweis als wahr akzeptiert wird. Ein Kreis ist beispielsweise eine geometrische Figur, die gleichmäßig in 360 Grad unterteilt werden kann. Diese Aussage gilt für jeden Kreis, unter allen Umständen. Daher ist diese Aussage ein geometrisches Postulat.

Ein Theorem ist das Ergebnis oder die Schlussfolgerung eines genau aufgebauten deduktiven Arguments und kann das Ergebnis eines gut recherchierten induktiven Arguments sein. Kurz gesagt, ein Theorem ist eine bewiesene Aussage in der Geometrie und kann daher beim Erstellen logischer Beweise für andere Geometrieprobleme als wahre Aussage herangezogen werden. Die Aussagen „zwei Punkte bestimmen eine Gerade“ und „drei Punkte bestimmen eine Ebene“ sind jeweils geometrische Sätze.