So finden Sie eine Exponentialgleichung mit zwei Punkten

Wenn Sie zwei Punkte kennen, die auf eine bestimmte Exponentialkurve fallen, können Sie die Kurve definieren, indem Sie die allgemeine Exponentialfunktion mit diesen Punkten lösen. In der Praxis bedeutet dies, die Punkte für y und x in der Gleichung y = ab. zu ersetzen^x. Das Verfahren ist einfacher, wenn der x-Wert für einen der Punkte 0 ist, was bedeutet, dass der Punkt auf der y-Achse liegt. Wenn keiner der Punkte einen x-Wert von Null hat, ist der Prozess zum Auflösen nach x und y etwas komplizierter.

Viele wichtige Systeme folgen exponentiellen Wachstums- und Verfallsmustern. Zum Beispiel nimmt die Anzahl der Bakterien in einer Kolonie normalerweise exponentiell zu, und die Umgebungsstrahlung in der Atmosphäre nach einem nuklearen Ereignis nimmt normalerweise exponentiell ab. Durch die Aufnahme von Daten und das Zeichnen einer Kurve sind Wissenschaftler besser in der Lage, Vorhersagen zu treffen.

Jeder Punkt auf einem zweidimensionalen Graphen kann durch zwei Zahlen dargestellt werden, die normalerweise in der in. geschrieben werden die Form (x, y), wobei x den horizontalen Abstand vom Ursprung definiert und y die Vertikale darstellt Entfernung. Der Punkt (2, 3) liegt beispielsweise zwei Einheiten rechts von der y-Achse und drei Einheiten oberhalb der x-Achse. Andererseits liegt der Punkt (-2, -3) zwei Einheiten links von der y-Achse. und drei Einheiten unterhalb der x-Achse.

Wenn Sie zwei Punkte haben, (x₁, ja₁) und (x₂, ja₂), können Sie die Exponentialfunktion, die durch diese Punkte geht, definieren, indem Sie sie in die Gleichung y = ab. einsetzen^x und Auflösen nach a und b. Im Allgemeinen müssen Sie dieses Gleichungspaar lösen:

ja₁ = ab^x1 Andy₂ = ab^x2, .

In dieser Form sieht die Mathematik etwas kompliziert aus, aber nach einigen Beispielen sieht es weniger aus.

Wenn einer der x-Werte -- sagen wir x₁ -- 0 ist, wird die Bedienung sehr einfach. Das Auflösen der Gleichung nach den Punkten (0, 2) und (2, 4) ergibt beispielsweise:

2 = ab⁰ und 4 = ab². Da wir wissen, dass b⁰ = 1, die erste Gleichung wird 2 = a. Einsetzen von a in die zweite Gleichung ergibt 4 = 2b², die wir zu b. vereinfachen² = 2, oder b = Quadratwurzel von 2, was ungefähr 1,41 entspricht. Die definierende Funktion ist dann y = 2 (1.41)^x.

Wenn keiner der x-Werte null ist, ist das Lösen des Gleichungspaars etwas umständlicher. Henochmath führt uns durch ein einfaches Beispiel, um dieses Verfahren zu verdeutlichen. In seinem Beispiel wählte er das Punktepaar (2, 3) und (4, 27). Dies ergibt das folgende Gleichungspaar:

27 = ab⁴

3 = ab²

Wenn du die erste Gleichung durch die zweite teilst, erhältst du

9 = b²

also b = 3. Es ist möglich, dass b auch gleich -3 ist, aber in diesem Fall nehmen Sie an, dass es positiv ist.

Sie können diesen Wert in beiden Gleichungen durch b ersetzen, um a zu erhalten. Es ist einfacher, die zweite Gleichung zu verwenden, also:

3 = ein (3)² was vereinfacht werden kann zu 3 = a9, a = 3/9 oder 1/3.

Die Gleichung, die durch diese Punkte geht, kann geschrieben werden als y = 1/3(3)^x.

Seit 1910 ist das Bevölkerungswachstum exponentiell, und durch das Zeichnen einer Wachstumskurve sind Wissenschaftler besser in der Lage, die Zukunft vorherzusagen und zu planen. Im Jahr 1910 betrug die Weltbevölkerung 1,75 Milliarden, 2010 waren es 6,87 Milliarden. Ausgehend von 1910 als Ausgangspunkt ergibt dies das Punktepaar (0, 1,75) und (100, 6,87). Da der x-Wert des ersten Punktes null ist, können wir a leicht finden.

1,75 = ab⁰ oder a = 1,75. Setzt man diesen Wert zusammen mit denen des zweiten Punktes in die allgemeine Exponentialgleichung ein, ergibt sich 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, was den Wert von b als Hundertstelwurzel von 6,87/1,75 oder 3,93 angibt. Die Gleichung wird also y = 1,75 (Hundertstelwurzel von 3,93)^x. Obwohl dazu mehr als ein Rechenschieber erforderlich ist, können Wissenschaftler diese Gleichung verwenden, um zukünftige Bevölkerungszahlen zu prognostizieren, um Politikern in der Gegenwart zu helfen, geeignete Richtlinien zu erstellen.