Alle Mathematikstudenten und viele Naturwissenschaftsstudenten stoßen irgendwann während ihres Studiums auf Polynome, aber zum Glück sind sie leicht zu handhaben, wenn Sie die Grundlagen gelernt haben. Die wichtigsten Operationen, die Sie mit polynomischen Ausdrücken ausführen müssen, sind Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Teilen, und obwohl das Teilen komplex sein kann, werden Sie die meiste Zeit mit den Grundlagen umgehen können Leichtigkeit.
Polynome: Definition und Beispiele
Polynom beschreibt einen algebraischen Ausdruck mit einem oder mehreren Termen, die eine Variable (oder mehr als einen) beinhalten, mit Exponenten und möglicherweise Konstanten. Sie dürfen keine Division durch eine Variable beinhalten, dürfen keine negativen oder gebrochenen Exponenten haben und müssen eine endliche Anzahl von Termen haben.
Dieses Beispiel zeigt ein Polynom:
x^3 + 2 x^ 2 - 9 x - 4
Und das zeigt ein anderes:
xy^2 - 3 x + y
Es gibt viele Möglichkeiten, Polynome zu klassifizieren, auch nach Grad (die Summe der Exponenten des Termes mit der höchsten Potenz, z. B. 3 im erstes Beispiel) und nach der Anzahl der darin enthaltenen Terme, wie Monome (ein Term), Binomiale (zwei Terme) und Trinome (drei Begriffe).
Addieren und Subtrahieren von Polynomen
Das Addieren und Subtrahieren von Polynomen hängt von der Kombination „gleicher“ Terme ab. Ein ähnlicher Term ist einer mit denselben Variablen und Exponenten wie ein anderer, aber die Zahl, mit der sie multipliziert werden (der Koeffizient), kann unterschiedlich sein. Beispielsweise,x2 und 4x 2 sind wie Terme, weil sie dieselbe Variable und denselben Exponenten haben und 2xy 4 und 6xy 4 sind auch wie Begriffe. Jedoch,x2, x3, x2ja2 undja2 sind nicht wie Terme, da jeder unterschiedliche Kombinationen von Variablen und Exponenten enthält.
Fügen Sie Polynome hinzu, indem Sie ähnliche Terme auf die gleiche Weise wie mit anderen algebraischen Termen kombinieren. Betrachten Sie zum Beispiel das Problem:
(x^3 + 3x) + (9x^3 + 2x + y)
Sammeln Sie die gleichen Begriffe, um Folgendes zu erhalten:
(x^3 + 9x^3) + (3x + 2x) + y
Und dann bewerten Sie, indem Sie einfach die Koeffizienten addieren und zu einem einzigen Term kombinieren:
10 x^3 + 5 x + y
Beachten Sie, dass Sie nichts mitjaweil es keinen ähnlichen Begriff hat.
Die Subtraktion funktioniert auf die gleiche Weise:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y ) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Beachten Sie zunächst, dass alle Terme in der rechten Klammer von denen in der linken Klammer abgezogen werden, also schreiben Sie es wie folgt:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Kombiniere ähnliche Begriffe und werte sie aus, um Folgendes zu erhalten:
(4 x^4 - 2 x^4) + (3 y^2 - 2 y^2) + (6 y - y) = 2 x^4 + y^2 + 5 y
Bei so einem Problem:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2)
Beachten Sie, dass das Minuszeichen auf den gesamten Ausdruck in der rechten Klammer angewendet wird, also die beiden negativen Vorzeichen vor 3x2 zum Zusatzzeichen werden:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2) = 4 xy + x^2 - 6 xy + 3 x^2
Rechne dann wie zuvor.
Multiplizieren von polynomischen Ausdrücken
Multiplizieren Sie polynomische Ausdrücke, indem Sie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation verwenden. Kurz gesagt, multiplizieren Sie jeden Term im ersten Polynom mit jedem Term im zweiten. Schauen Sie sich dieses einfache Beispiel an:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Sie lösen dies mit der Verteilungseigenschaft, also:
\begin{aligned} 4 x × (2 x^2 + y) &= (4 x × 2 x^2) + (4 x × y) \\ &= 8 x^3 + 4 xy \end{aligned}
Gehen Sie kompliziertere Probleme auf die gleiche Weise an:
\begin{ausgerichtet} (2 y^3 + 3 x ) × &(5 x^2 + 2 x ) \\ &= (2 y^3 × (5 x^2 + 2 x )) + (3 x × (5 x^2 + 2 x)) \\ &= (2 y^3 × 5 x^2) + (2 y^3 × 2 x ) + (3 x × 5 x^2) + (3 x × 2 x ) \\ &= 10 y^3x^2 + 4 y ^3x + 15x^3 + 6x^2 \end{ausgerichtet}
Diese Probleme können bei größeren Gruppen kompliziert werden, aber der grundlegende Prozess ist immer noch der gleiche.
Dividierende polynomische Ausdrücke
Das Dividieren von polynomischen Ausdrücken dauert länger, aber Sie können es schrittweise angehen. Schau dir den Ausdruck an:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2}
Schreiben Sie den Ausdruck zunächst wie eine lange Division, mit dem Divisor links und dem Dividenden rechts:
x + 2 )\overline{x^2 - 3 x - 10}
Dividiere den ersten Term des Dividenden durch den ersten Term des Divisors und trage das Ergebnis auf die Linie über der Division. In diesem Fall,x2 ÷ x = x, so:
\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \end{aligned}
Multiplizieren Sie dieses Ergebnis mit dem ganzen Teiler, also in diesem Fall (x + 2) × x = x2 + 2 x. Setzen Sie dieses Ergebnis unter die Division:
\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \end{aligned}
Subtrahieren Sie das Ergebnis in der neuen Zeile von den Termen direkt darüber (beachten Sie, dass Sie technisch gesehen das Vorzeichen ändern, also wenn Sie ein negatives Ergebnis hätten, würden Sie es stattdessen hinzufügen), und fügen Sie dies in eine Zeile darunter ein. Verschieben Sie auch den letzten Term von der ursprünglichen Dividende nach unten.
\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{aligned}
Wiederholen Sie nun den Vorgang mit dem Divisor und dem neuen Polynom in der unteren Zeile. Teilen Sie also den ersten Term des Divisors (x) durch den ersten Term des Dividenden (−5x) und setze das oben ein:
\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{aligned}
Multiplizieren Sie dieses Ergebnis (−5x ÷ x= −5) durch den ursprünglichen Teiler (also (x + 2) × −5 = −5 x−10) und setze das Ergebnis auf eine neue untere Zeile:
\begin{ausgerichtet} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \end{ausgerichtet}
Dann subtrahieren Sie die untere Zeile von der nächsten (also ändern Sie in diesem Fall das Vorzeichen und fügen Sie hinzu) und setzen Sie das Ergebnis in eine neue untere Zeile:
\begin{ausgerichtet} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ &-5 x - 10 \\ & 0 \quad 0 \end{ausgerichtet}
Da sich nun unten eine Reihe von Nullen befindet, ist der Vorgang abgeschlossen. Wenn noch nicht null Terme übrig sind, würden Sie den Vorgang wiederholen. Das Ergebnis steht in der obersten Zeile, also:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2} = x - 5
Diese Aufteilung und einige andere können einfacher gelöst werden, wenn Sie können faktoriere das Polynom bei der Dividende.