Anstatt x^4 + 2x^3 = 0 zu lösen, bedeutet die Faktorisierung des Binomials, dass Sie zwei einfachere Gleichungen lösen: x^3 = 0 und x + 2 = 0. Ein Binomial ist ein beliebiges Polynom mit zwei Termen; die Variable kann jeden ganzzahligen Exponenten von 1 oder höher haben. Erfahren Sie, welche Binomialformen durch Faktorisieren zu lösen sind. Im Allgemeinen sind dies diejenigen, die Sie auf einen Exponenten von 3 oder weniger reduzieren können. Binomiale können mehrere Variablen haben, aber Sie können solche mit mehr als einer Variablen selten durch Faktorisieren lösen.
Prüfen Sie, ob die Gleichung faktorierbar ist. Sie können ein Binomial faktorisieren, das den größten gemeinsamen Faktor hat, eine Differenz von Quadraten oder eine Summe oder Differenz von Würfeln ist. Gleichungen wie x + 5 = 0 können ohne Faktorisierung gelöst werden. Quadratsummen wie x^2 + 25 = 0 können nicht faktorisiert werden.
Vereinfachen Sie die Gleichung und schreiben Sie sie in Standardform. Verschiebe alle Terme auf die gleiche Seite der Gleichung, füge ähnliche Terme hinzu und ordne die Terme vom höchsten zum niedrigsten Exponenten. Aus 2 + x^3 - 18 = -x^3 wird beispielsweise 2x^3 -16 = 0.
Ziehen Sie den größten gemeinsamen Faktor heraus, wenn es einen gibt. Der GCF kann eine Konstante, eine Variable oder eine Kombination sein. Der größte gemeinsame Faktor von 5x^2 + 10x = 0 ist beispielsweise 5x. Faktorisiere es auf 5x (x + 2) = 0. Sie könnten diese Gleichung nicht weiter faktorisieren, aber wenn einer der Terme noch faktorierbar ist, wie in 2x^3 - 16 = 2(x^3 - 8), fahren Sie mit dem Faktorisierungsprozess fort.
Verwenden Sie die entsprechende Gleichung, um eine Differenz von Quadraten oder eine Differenz oder Summe von Würfeln zu faktorisieren. Für eine Quadratdifferenz gilt x^2 - a^2 = (x + a)(x - a). Beispiel: x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3). Für eine Würfeldifferenz gilt x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + ax + a^2). Beispiel: x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4). Für eine Summe von Würfeln gilt x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2).
Setzen Sie die Gleichung für jeden Klammersatz im vollständig faktorisierten Binomial gleich null. Für 2x^3 - 16 = 0 ist die vollständig faktorisierte Form beispielsweise 2(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0. Setzen Sie jede einzelne Gleichung gleich Null, um x - 2 = 0 und x^2 + 2x + 4 = 0 zu erhalten.
Lösen Sie jede Gleichung, um eine Lösung des Binomials zu erhalten. Für x^2 - 9 = 0 zum Beispiel x - 3 = 0 und x + 3 = 0. Lösen Sie jede Gleichung, um x = 3, -3 zu erhalten. Wenn eine der Gleichungen ein Trinom ist, z. B. x^2 + 2x + 4 = 0, lösen Sie sie mit der quadratischen Formel, was zu zwei Lösungen führt (Ressource).
Tipps
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Überprüfen Sie Ihre Lösungen, indem Sie jede einzelne in das ursprüngliche Binomial einstecken. Wenn jede Berechnung Null ergibt, ist die Lösung richtig.
Die Gesamtzahl der Lösungen sollte dem höchsten Exponenten im Binomial entsprechen: eine Lösung für x, zwei Lösungen für x^2 oder drei Lösungen für x^3.
Einige Binome haben Wiederholungslösungen. Zum Beispiel hat die Gleichung x^4 + 2x^3 = x^3(x + 2) vier Lösungen, aber drei sind x = 0. In solchen Fällen die sich wiederholende Lösung nur einmal aufzeichnen; schreiben Sie die Lösung für diese Gleichung als x = 0, -2.