Jeder Algebra-Schüler auf höheren Niveaus muss lernen, quadratische Gleichungen zu lösen. Dies sind eine Art Polynomgleichung, die eine Potenz von 2 enthält, aber keine höhere, und sie haben die allgemeine Form:Axt2 + bx + c= 0. Sie können diese lösen, indem Sie die quadratische Gleichungsformel verwenden, faktorisieren oder das Quadrat vervollständigen.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Suchen Sie zuerst nach einer Faktorisierung, um die Gleichung zu lösen. Wenn es nicht einen gibt, aber denbKoeffizient durch 2 teilbar ist, vervollständige das Quadrat. Wenn keiner der beiden Ansätze einfach ist, verwenden Sie die quadratische Gleichungsformel.
Verwenden der Faktorisierung zum Lösen der Gleichung
Die Faktorisierung nutzt die Tatsache, dass die rechte Seite der quadratischen Standardgleichung gleich Null ist. Das heißt, wenn Sie die Gleichung in zwei miteinander multiplizierte Terme in Klammern aufteilen können, können Sie die Lösungen erarbeiten, indem Sie darüber nachdenken, was jede Klammer gleich Null machen würde. Um ein konkretes Beispiel zu nennen:
x^2 + 6x + 9 = 0
Vergleichen Sie dies mit dem Standardformular:
ax^2 + bx + c = 0
Im Beispiel,ein = 1, b= 6 undc= 9. Die Herausforderung beim Faktorisieren besteht darin, zwei Zahlen zu finden, die sich addieren, um die Zahl im zu ergebenbfinde und multipliziere zusammen, um die Zahl an der Stelle für zu erhaltenc.
Also, die Zahlen darstellen durch representingdunde, Sie suchen nach Zahlen, die Folgendes erfüllen:
d + e = b
Oder in diesem Fall mitb = 6:
d + e = 6
Und
d × e = c
Oder in diesem Fall mitc = 9:
d × e = 9
Konzentrieren Sie sich darauf, Zahlen zu finden, die Faktoren von. sindc, und addiere sie dann zusammen, um zu sehen, ob sie gleich sindb. Wenn Sie Ihre Zahlen haben, geben Sie sie in das folgende Format ein:
(x + d) (x + e)
Im obigen Beispiel sind beidedundesind 3:
x^2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Wenn Sie die Klammern ausmultiplizieren, erhalten Sie am Ende wieder den ursprünglichen Ausdruck, und dies ist eine gute Übung, um Ihre Faktorisierung zu überprüfen. Sie können diesen Prozess durchlaufen (indem Sie den ersten, inneren, äußeren und dann den letzten Teil der Klammern nacheinander multiplizieren – siehe Ressourcen für weitere Details), um ihn in umgekehrter Reihenfolge zu sehen:
\begin{ausgerichtet} (x + 3) (x + 3) &= (x × x) + (3 × x ) + (x × 3) + (3 × 3) \\ &= x^2 + 3x + 3x + 9 \\ &= x^2 + 6x + 9 \\ \end{ausgerichtet}
Die Faktorisierung durchläuft diesen Prozess effektiv umgekehrt, aber es kann eine Herausforderung sein, die der richtige Weg, um die quadratische Gleichung zu faktorisieren, und diese Methode ist nicht für jede quadratische Gleichung dafür ideal Grund. Oft muss man eine Faktorisierung erraten und dann überprüfen.
Das Problem besteht nun darin, dass einer der Ausdrücke in Klammern durch die Wahl des Wertes für gleich Null wirdx. Wenn eine der Klammern gleich Null ist, ist die gesamte Gleichung gleich Null, und Sie haben eine Lösung gefunden. Schauen Sie sich die letzte Stufe an [(x + 3) (x+ 3) = 0] und Sie werden sehen, dass die Klammern nur dann zu Null werden, wennx= −3. In den meisten Fällen haben quadratische Gleichungen jedoch zwei Lösungen.
Die Faktorisierung ist noch schwieriger, wenneinist nicht gleich eins, aber es ist zunächst besser, sich auf einfache Fälle zu konzentrieren.
Vervollständigen Sie das Quadrat, um die Gleichung zu lösen
Das Vervollständigen des Quadrats hilft Ihnen, quadratische Gleichungen zu lösen, die nicht einfach faktorisiert werden können. Diese Methode kann für jede quadratische Gleichung funktionieren, aber einige Gleichungen passen besser dazu als andere. Der Ansatz besteht darin, den Ausdruck in ein perfektes Quadrat zu verwandeln und dieses zu lösen. Ein generisches perfektes Quadrat expandiert wie folgt:
(x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2
Um eine quadratische Gleichung durch Vervollständigung des Quadrats zu lösen, geben Sie den Ausdruck in die Form rechts oben ein. Teilen Sie zuerst die Zahl in diebPosition durch 2 und quadrieren dann das Ergebnis. Also für die Gleichung:
x^2 + 8x = 0
Der Koeffizientb= 8, alsob÷ 2 = 4 und (b ÷ 2)2 = 16.
Fügen Sie dies auf beiden Seiten hinzu, um Folgendes zu erhalten:
x^2 + 8x + 16 = 16
Beachten Sie, dass diese Form der perfekten quadratischen Form entspricht, mitd= 4, also 2d= 8 undd2 = 16. Dies bedeutet, dass:
x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2
Fügen Sie dies in die vorherige Gleichung ein, um zu erhalten:
(x + 4)^2 = 16
Lösen Sie nun die Gleichung nachx. Ziehe die Quadratwurzel beider Seiten, um zu erhalten:
x + 4 = \sqrt{16}
Subtrahiere 4 von beiden Seiten, um zu erhalten:
x = \sqrt{16} - 4
Die Wurzel kann positiv oder negativ sein, und das Ziehen der negativen Wurzel ergibt:
x = -4 - 4 = -8
Finden Sie die andere Lösung mit der positiven Wurzel:
x = 4 - 4 = 0
Daher ist die einzige von Null verschiedene Lösung -8. Überprüfen Sie dies zur Bestätigung mit dem ursprünglichen Ausdruck.
Verwenden der quadratischen Formel zum Lösen der Gleichung
Die quadratische Gleichungsformel sieht komplizierter aus als die anderen Methoden, ist aber die zuverlässigste Methode, und Sie können sie auf jede quadratische Gleichung anwenden. Die Gleichung verwendet die Symbole der quadratischen Standardgleichung:
ax^2 + bx + c = 0
Und stellt fest, dass:
x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Fügen Sie die entsprechenden Zahlen an ihren Stellen ein und arbeiten Sie die Formel zur Lösung durch. Denken Sie daran, sowohl das Subtrahieren als auch das Addieren des Quadratwurzelterms zu versuchen und beide Antworten zu notieren. Für folgendes Beispiel:
x^2 + 6x + 5 = 0
Du hastein = 1, b= 6 undc= 5. Die Formel ergibt also:
\begin{ausgerichtet} x &= \frac{-6 ± \sqrt{6^2 - 4×1×5}}{2×1} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{36 - 20} }{2} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{16}}{2} \\ &= \frac{-6 ± 4}{2} \end{aligned}
Das positive Vorzeichen zu nehmen ergibt:
\begin{aligned} x &= \frac{-6 + 4}{2} \\ &= \frac{-2}{2} \\ &= -1 \end{aligned}
Und wenn man das negative Vorzeichen nimmt, erhält man:
\begin{aligned} x &= \frac{-6 - 4}{2} \\ &= \frac{-10}{2} \\ &= -5 \end{aligned}
Welches sind die beiden Lösungen für die Gleichung.
So bestimmen Sie die beste Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen
Suchen Sie nach einer Faktorisierung, bevor Sie etwas anderes versuchen. Wenn Sie eine erkennen können, ist dies der schnellste und einfachste Weg, eine quadratische Gleichung zu lösen. Denken Sie daran, dass Sie nach zwei Zahlen suchen, die sich zu summierenbKoeffizienten und multiplizieren, um dencKoeffizient. Für diese Gleichung:
x^2 + 5x + 6 = 0
Sie können erkennen, dass 2 + 3 = 5 und 2 × 3 = 6 sind, also:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Undx= −2 oderx = −3.
Wenn Sie keine Faktorisierung sehen können, überprüfen Sie, ob diebDer Koeffizient ist durch 2 teilbar, ohne auf Brüche zurückzugreifen. Wenn ja, ist das Vervollständigen des Quadrats wahrscheinlich der einfachste Weg, die Gleichung zu lösen.
Wenn keiner der Ansätze geeignet erscheint, verwenden Sie die Formel. Dies scheint der schwierigste Ansatz zu sein, aber wenn Sie in einer Prüfung sind oder anderweitig unter Zeitdruck stehen, kann der Prozess viel stressfreier und viel schneller werden.