Der Unterschied zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik ist enorm. Während in der klassischen Mechanik Teilchen und Objekte klar definierte Positionen haben, ist in der Quantenmechanik (vor einer Messung) a Teilchen kann nur eine Reihe von möglichen Positionen haben, die in Form von Wahrscheinlichkeiten durch die Welle beschrieben werden Funktion.
Die Schrödinger-Gleichung definiert die Wellenfunktion quantenmechanischer Systeme, und das Erlernen ihrer Verwendung und Interpretation ist ein wichtiger Bestandteil jedes Kurses in Quantenmechanik. Eines der einfachsten Beispiele für eine Lösung dieser Gleichung ist ein Teilchen in einer Box.
Die Wellenfunktion
In der Quantenmechanik wird ein Teilchen durch aWellenfunktion. Dies wird normalerweise mit dem griechischen Buchstaben psi (Ψ) und ist sowohl orts- als auch zeitabhängig und enthält alles, was man über das Teilchen wissen kann.
Der Modul dieser Funktion zum Quadrat sagt Ihnen die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen an Position gefunden wird
xzum Zeitpunktt, sofern die Funktion „normalisiert“ ist. Das heißt nur so angepasst, dass es sicher zu finden ist beietwasPositionxdamalstwenn die Ergebnisse an jedem Ort summiert werden, d. h. die Normalisierungsbedingung lautet:\int_{-\infty}^\infty \vertΨ\vert^2 = 1
Sie können die Wellenfunktion verwenden, um den Erwartungswert für die Position eines Teilchens zu einem Zeitpunkt zu berechnent, wobei der Erwartungswert nur den Durchschnittswert bedeutet, den Sie erhalten würdenxwenn Sie die Messung viele Male wiederholt haben. Dies bedeutet natürlich nicht, dass es das Ergebnis ist, das Sie für eine bestimmte Messung erhalten würden – das heißteffektivzufällig, obwohl einige Orte in der Regel wesentlich wahrscheinlicher sind als andere.
Es gibt viele andere Größen, für die Sie Erwartungswerte berechnen können, wie Impuls- und Energiewerte sowie viele andere „Observablen“.
Schrödinger-Gleichung
Die Schrödinger-Gleichung ist eine Differentialgleichung, die verwendet wird, um den Wert für die Wellenfunktion und die Eigenzustände für die Energie des Teilchens zu finden. Die Gleichung lässt sich aus der Energieerhaltung und den Ausdrücken für die kinetische und potentielle Energie eines Teilchens ableiten. Der einfachste Weg, es zu schreiben, ist:
H(Ψ) =iℏ\frac{\partialΨ}{\partial t}
Aber hierHrepräsentiert dieHamilton-Operator, was an sich schon ein ziemlich langer Ausdruck ist:
H = \frac{−ℏ}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)
Hier,ichdie Masse ist, ℏ die Plancksche Konstante geteilt durch 2π ist undV (x) ist eine allgemeine Funktion für die potentielle Energie des Systems. Der Hamilton-Operator hat zwei verschiedene Teile – der erste Term ist die kinetische Energie des Systems und der zweite Term ist die potentielle Energie.
Jeder beobachtbare Wert in der Quantenmechanik ist mit einem Operator verbunden, und in der zeitunabhängigen Version der Schrödinger-Gleichung ist der Hamilton-Operator der Energieoperator. In der oben gezeigten zeitabhängigen Version erzeugt der Hamilton-Operator jedoch auch die Zeitentwicklung der Wellenfunktion.
Wenn Sie alle in der Gleichung enthaltenen Informationen kombinieren, können Sie die Entwicklung des Teilchens in Raum und Zeit beschreiben und auch die möglichen Energiewerte dafür vorhersagen.
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Der zeitabhängige Teil der Gleichung kann entfernt werden – um eine Situation zu beschreiben, die sich nicht merklich mit der Zeit entwickelt – indem man die Wellenfunktion in einen Raum- und einen Zeitteil aufteilt:Ψ(x, t) = Ψ(x) f(t). Die zeitabhängigen Anteile können dann aus der Gleichung herausgenommen werden, wodurch die zeitunabhängige Version der Schrödinger-Gleichung übrig bleibt:
H Ψ(x) = E (Ψ (x))
Eist die Energie des Systems. Dies hat die exakte Form einer Eigenwertgleichung mitΨ(x) die Eigenfunktion ist undEder Eigenwert ist, weshalb die zeitunabhängige Gleichung oft als Eigenwertgleichung für die Energie eines quantenmechanischen Systems bezeichnet wird. Die Zeitfunktion ist einfach gegeben durch:
f (t) = e^{-iEt/ℏ}
Die zeitunabhängige Gleichung ist nützlich, da sie die Berechnungen für viele Situationen vereinfacht, in denen die Zeitentwicklung nicht besonders wichtig ist. Dies ist die nützlichste Form für „Particle in a Box“-Probleme und sogar für die Bestimmung der Energieniveaus für Elektronen um ein Atom herum.
Partikel in einer Box (Unendlich quadratischer Brunnen)
Eine der einfachsten Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung ist für ein Teilchen in an unendlich tiefe quadratische Mulde (d. h. eine unendliche Potentialmulde) oder eine eindimensionale Box der Basis LängeL. Natürlich sind dies theoretische Idealisierungen, aber es gibt eine grundlegende Vorstellung davon, wie Sie die Schrödinger-Gleichung lösen, ohne viele der in der Natur vorkommenden Komplikationen zu berücksichtigen.
Wenn die potentielle Energie außerhalb des Brunnens auf 0 gesetzt ist, wo die Wahrscheinlichkeitsdichte ebenfalls 0 ist, lautet die Schrödinger-Gleichung für diese Situation:
\frac{−ℏ^2}{2m} \frac{d^2Ψ(x)}{dx^2} = E Ψ(x)
Und die allgemeine Lösung für eine Gleichung dieser Form lautet:
Ψ(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)
Ein Blick auf die Randbedingungen kann jedoch helfen, dies einzugrenzen. Zumx= 0 undx= L, d.h. die Seiten des Kastens oder die Wände des Brunnens, muss die Wellenfunktion gegen Null gehen. Die Kosinusfunktion hat den Wert 1, wenn das Argument 0 ist. Damit die Randbedingungen erfüllt sind, muss die KonstanteBmuss gleich Null sein. Diese Blätter:
Ψ(x) = A\sin(kx)
Sie können die Randbedingungen auch verwenden, um einen Wert fürk. Da die Sinusfunktion bei Werten gegen Null gehtneinπ, wobei Quantenzahlnein= 0, 1, 2, 3… und so weiter, das heißt, wennx = L, die Gleichung funktioniert nur, wennk = neinπ / L. Schließlich können Sie die Tatsache nutzen, dass die Wellenfunktion normalisiert werden muss, um den Wert von. zu findenEIN(über alle möglichen integrierenxWerte, d. h. von 0 bisL, und dann das Ergebnis auf 1 setzen und neu anordnen), um zum endgültigen Ausdruck zu gelangen:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
Mit der ursprünglichen Gleichung und diesem Ergebnis können Sie dann auflösen nachE, was ergibt:
E = \frac{n^2ℎ^2}{8mL^2}
Beachten Sie die Tatsache, dassneinbedeutet in diesem Ausdruck, dass die Energieniveausquantisiert, also können sie nicht nehmenirgendeinWert, sondern nur ein diskreter Satz spezifischer Energieniveauwerte in Abhängigkeit von der Masse des Teilchens und der Länge der Box.
Partikel in einer Box (Finite Square Well)
Das gleiche Problem wird etwas komplizierter, wenn der Potentialtopf eine endliche Wandhöhe hat. Zum Beispiel, wenn das PotenzialV (x) nimmt den Wert anV0 außerhalb des Potentialtopfes und 0 darin kann die Wellenfunktion in den drei Hauptbereichen des Problems bestimmt werden. Dies ist jedoch ein komplexerer Prozess, sodass Sie hier nur die Ergebnisse sehen können, anstatt den gesamten Prozess zu durchlaufen.
Wenn der Brunnen bei. istx= 0 bisx = Lnoch einmal für die Region, in derx< 0 lautet die Lösung:
Ψ(x) = Be^{kx}
Für die Regionx > L, es ist:
Ψ(x) = Ae^{-kx}
Wo
k = \sqrt{\frac{2me}{ℏ^2}}
Für den Bereich innerhalb des Brunnens, wo 0 <x < L, die allgemeine Lösung lautet:
Ψ(x) = C\sin(wx) + D\cos(wx)
Wo
w = \sqrt{\frac{-2m (E+V_0)}{ℏ^2}}
Mit den Randbedingungen können Sie dann die Werte der Konstanten bestimmenEIN, B, CundD, wobei zu beachten ist, dass die Wellenfunktion und ihre erste Ableitung neben definierten Werten an den Wänden des Brunnens überall stetig und die Wellenfunktion überall endlich sein muss.
In anderen Fällen, wie flachen Boxen, engen Boxen und vielen anderen spezifischen Situationen, gibt es Näherungen und verschiedene Lösungen, die Sie finden können.