Rotationskinetische Energiebeschreibt die Bewegungsenergie, die sich aus der Rotation oder Kreisbewegung eines Objekts ergibt. Erinnere dich daranlineare kinetische Energieeiner Masseichmit Geschwindigkeit bewegen movingvist gegeben durch 1/2mv2. Dies ist eine einfache Berechnung für jedes Objekt, das sich auf einem geradlinigen Pfad bewegt. Sie gilt für den Massenmittelpunkt des Objekts, sodass das Objekt als Punktmasse angenähert werden kann.
Wenn wir nun die kinetische Energie eines ausgedehnten Objekts beschreiben wollen, das eine komplexere Bewegung durchmacht, wird die Rechnung schwieriger.
Wir könnten sukzessive Näherungen machen, indem wir das ausgedehnte Objekt in kleine Stücke zerlegen, von denen jedes als a Punktmasse, und berechnen Sie dann die lineare kinetische Energie für jede Punktmasse separat und addieren Sie sie alle, um die Summe für die Objekt. Je kleiner wir das Objekt zerlegen, desto besser ist die Annäherung. In der Grenze, wo die Stücke unendlich klein werden, kann dies mit Infinitesimalrechnung erfolgen.
Aber wir haben Glück! Bei der Rotationsbewegung gibt es eine Vereinfachung. Beschreiben wir für ein rotierendes Objekt seine Massenverteilung um die Rotationsachse durch sein Trägheitsmoment,ich, können wir dann eine einfache Gleichung für die kinetische Rotationsenergie verwenden, die später in diesem Artikel diskutiert wird.
Trägheitsmoment
Trägheitsmomentist ein Maß dafür, wie schwierig es ist, ein Objekt dazu zu bringen, seine Drehbewegung um eine bestimmte Achse zu ändern. Das Trägheitsmoment eines rotierenden Objekts hängt nicht nur von der Masse des Objekts ab, sondern auch von der Verteilung dieser Masse um die Rotationsachse. Je weiter weg von der Achse die Masse verteilt ist, desto schwieriger ist es, ihre Rotationsbewegung zu ändern und desto größer ist das Trägheitsmoment.
Die SI-Einheiten für das Trägheitsmoment sind kgm2 (was mit unserer Vorstellung übereinstimmt, dass es von der Masse und vom Abstand zur Rotationsachse abhängt). Die Trägheitsmomente für verschiedene Objekte können einer Tabelle oder aus der Infinitesimalrechnung entnommen werden.
Tipps
Das Trägheitsmoment für ein beliebiges Objekt kann mithilfe der Infinitesimalrechnung und der Formel für das Trägheitsmoment einer Punktmasse ermittelt werden.
Gleichung der kinetischen Rotationsenergie
Die Formel für die kinetische Rotationsenergie lautet:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2
Woichist das Trägheitsmoment des Objekts undωist die Winkelgeschwindigkeit des Objekts in Radiant pro Sekunde (rad/s). Die SI-Einheit für die kinetische Rotationsenergie ist das Joule (J).
Die Form der kinetischen Rotationsenergieformel ist analog zur translatorischen kinetischen Energiegleichung; Das Trägheitsmoment spielt die Rolle der Masse und die Winkelgeschwindigkeit ersetzt die Lineargeschwindigkeit. Beachten Sie, dass die Gleichung für die kinetische Rotationsenergie das gleiche Ergebnis für eine Punktmasse liefert wie die lineare Gleichung.
Wenn wir uns eine Punktmasse vorstellenichsich in einem Kreis mit Radius bewegenrmit Geschwindigkeitv, dann ist seine Winkelgeschwindigkeit ω = v/r und sein Trägheitsmoment ist mr2. Beide Gleichungen der kinetischen Energie liefern erwartungsgemäß das gleiche Ergebnis:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2=\frac{1}{2}\frac {m\cancel{r^2}v^2}{\cancel{r^2}} = \frac{1}{2}mv^2 = KE_{lin}
Wenn sich ein Objekt gleichzeitig dreht und sich sein Massenschwerpunkt entlang einer geraden Bahn bewegt (wie zum Beispiel bei einem rollenden Reifen), dann ist diekinetische Gesamtenergieist die Summe der kinetischen Rotationsenergie und der kinetischen Translationsenergien:
KE_{tot} = KE_{rot}+KE_{lin} = \frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}mv^2
Beispiele mit der Formel für die kinetische Rotationsenergie
Die Formel für die kinetische Rotationsenergie hat viele Anwendungen. Es kann verwendet werden, um die einfache kinetische Energie eines sich drehenden Objekts zu berechnen, um die kinetische Energie von. zu berechnen ein rollendes Objekt (ein Objekt, das sowohl eine Rotations- als auch eine Translationsbewegung durchläuft) und nach anderen aufzulösen Unbekannte. Betrachten Sie die folgenden drei Beispiele:
Beispiel 1:Die Erde dreht sich etwa alle 24 Stunden einmal um ihre Achse. Wenn wir annehmen, dass es eine gleichmäßige Dichte hat, wie groß ist dann seine kinetische Rotationsenergie? (Der Radius der Erde beträgt 6,37 × 106 m und seine Masse beträgt 5,97 × 1024 kg.)
Um die kinetische Rotationsenergie zu bestimmen, müssen wir zuerst das Trägheitsmoment bestimmen. Indem wir die Erde als feste Kugel annähern, erhalten wir:
I = \frac{2}{5}mr^2 = \frac{2}{5}(5.97\times10^{24}\text{ kg})(6.37\times10^6\text{ m})^2 = 9,69\times10^{37}\text{ kgm}^2
Die Winkelgeschwindigkeit beträgt 2π Radiant/Tag. Die Umrechnung in rad/s ergibt:
2\pi\frac{\text{Radiant}}{\cancel{\text{day}}}\frac{1\cancel{\text{ day}}}{86400\text{ Sekunden}} = 7,27\times10^ {-5} \text{ rad/s}
Die kinetische Rotationsenergie der Erde ist dann:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(9,69\times10^{37}\text{ kgm}^2)(7,27\times10^{- 5}\text{ rad/s})^2 = 2,56\times 10^{29}\text{ J}
Wissenswertes: Das ist mehr als das Zehnfache der Gesamtenergie, die die Sonne in einer Minute abgibt!
Beispiel 2:Ein gleichförmiger Zylinder mit einer Masse von 0,75 kg und einem Radius von 0,1 m rollt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 4 m/s über den Boden. Wie groß ist seine kinetische Energie?
Die gesamte kinetische Energie ist gegeben durch:
KE_{tot} = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2
In diesem Fall ist I = 1/2 mr2 das Trägheitsmoment für einen Vollzylinder ist undωbezieht sich auf die Lineargeschwindigkeit über ω = v/r.
Die Vereinfachung des Ausdrucks für die gesamte kinetische Energie und das Einfügen von Werten ergibt:
KE_{tot} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(v/r)^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1 }{4}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2\\ = \frac{3}{4}(0,75\text{kg}) (4\text{ m/s}) = 2,25\text{ J}
Beachten Sie, dass wir den Radius nicht einmal verwenden mussten! Es hebte sich aufgrund des direkten Zusammenhangs zwischen Rotationsgeschwindigkeit und Lineargeschwindigkeit auf.
Beispiel 3:Ein Student auf einem Fahrrad fährt aus der Ruhe einen Hügel hinunter. Wenn die vertikale Höhe des Hügels 30 m beträgt, wie schnell fährt der Schüler am Fuß des Hügels? Angenommen, das Fahrrad wiegt 8 kg, der Fahrer wiegt 50 kg, jedes Rad wiegt 2,2 kg (im Fahrradgewicht enthalten) und jedes Rad hat einen Durchmesser von 0,7 m. Schätzen Sie die Räder als Reifen und nehmen Sie an, dass die Reibung vernachlässigbar ist.
Hier können wir die mechanische Energieerhaltung verwenden, um die Endgeschwindigkeit zu finden. Die potentielle Energie am oberen Ende des Hügels wird unten in kinetische Energie umgewandelt. Diese kinetische Energie ist die Summe der kinetischen Translationsenergie des gesamten Systems Mensch + Fahrrad und der kinetischen Rotationsenergien der Reifen.
Gesamtenergie des Systems:
E_{tot} = PE_{top} = mgh = (50\text{ kg} + 8\text{ kg})(9,8\text{ m/s}^2)(30\text{ m}) = 17.052\ Text{ J}
Die Formel für die Gesamtenergie in Bezug auf kinetische Energien am Fuß des Hügels lautet:
E_{tot} = KE_{bottom} = \frac{1}{2}I_{Reifen}\omega^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = \frac{1} {2}(2\times m_{Reifen} \times r_{Reifen}^2)(v/r_{Reifen})^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = m_{Reifen}v^2 + \frac{1}{ 2}m_{tot}v^2\\ = (m_{Reifen} + \frac{1}{2}m_{tot})v^2
Auflösen nachvgibt:
v = \sqrt{\frac{E_{tot}}{m_{Reifen} + \frac{1}{2}m_{tot}}}
Schließlich, wenn wir Zahlen eingeben, erhalten wir unsere Antwort:
v = \sqrt{\frac{17,052\text{ J}}{2,2\text{ kg} + \frac{1}{2}58\text{ kg}}} = 23,4 \text{ m/s}