Die Schrödinger-Gleichung ist die grundlegendste Gleichung der Quantenmechanik, und es ist für jeden angehenden Physiker unerlässlich, ihre Verwendung und ihre Bedeutung zu lernen. Die Gleichung ist nach Erwin Schrödinger benannt, der 1933 zusammen mit Paul Dirac den Nobelpreis für seine Beiträge zur Quantenphysik erhielt.
Die Schrödinger-Gleichung beschreibt die Wellenfunktion eines quantenmechanischen Systems, die probabilistische Informationen über den Ort eines Teilchens und andere beobachtbare Größen wie seine Schwung. Das Wichtigste, was Sie über die Quantenmechanik erkennen werden, nachdem Sie die Gleichung kennengelernt haben, ist, dass die Gesetze im Quantenbereichsehr verschiedenvon denen der klassischen Mechanik.
Die Wellenfunktion
Die Wellenfunktion ist eines der wichtigsten Konzepte der Quantenmechanik, da jedes Teilchen durch eine Wellenfunktion repräsentiert wird. Es wird typischerweise der griechische Buchstabe psi (Ψ) und hängt von Position und Zeit ab. Wenn Sie einen Ausdruck für die Wellenfunktion eines Teilchens haben, sagt er Ihnen alles, was man darüber wissen kann das physikalische System, und verschiedene Werte für beobachtbare Größen können erhalten werden, indem man einen Operator auf es.
Das Quadrat des Moduls der Wellenfunktion sagt Ihnen die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an einer Position zu findenxzu einer bestimmten Zeitt. Dies ist nur der Fall, wenn die Funktion „normiert“ ist, d. h. die Summe des Quadratmoduls über alle möglichen Orte muss gleich 1 sein, d. h. das Teilchen istsichersich befindenirgendwo.
Beachten Sie, dass die Wellenfunktion nur probabilistische Informationen liefert und Sie daher das Ergebnis einer einzelnen Beobachtung nicht vorhersagen können, obwohl SiekönnenBestimmen Sie den Durchschnitt über viele Messungen.
Sie können die Wellenfunktion verwenden, um die„Erwartungswert“für die Position des Teilchens zur Zeitt, wobei der Erwartungswert der Durchschnittswert von istxSie erhalten, wenn Sie die Messung mehrmals wiederholen.
Auch dies sagt Ihnen nichts über eine bestimmte Messung aus. Tatsächlich ist die Wellenfunktion eher eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein einzelnes Teilchen als etwas Konkretes und Verlässliches. Durch Verwendung des entsprechenden Operators können Sie auch Erwartungswerte für Impuls, Energie und andere beobachtbare Größen erhalten.
Die Schrödinger-Gleichung
Die Schrödinger-Gleichung ist eine lineare partielle Differentialgleichung, die die Entwicklung von a. beschreibt Quantenzustand ähnlich den Newtonschen Gesetzen (insbesondere dem zweiten Hauptsatz) in der klassischen in Mechanik.
Die Schrödinger-Gleichung ist jedoch eine Wellengleichung für die Wellenfunktion des fraglichen Teilchens, und daher die Verwendung der Gleichung zur Vorhersage des zukünftigen Zustands eines Systems wird manchmal als „Wellenmechanik“ bezeichnet. Die Gleichung selbst leitet sich aus der Energieerhaltung ab und ist um einen Operator namens aufgebaut Hamiltonian.
Die einfachste Form der Schrödinger-Gleichung zum Aufschreiben ist:
H Ψ = iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
Dabei ist ℏ die reduzierte Planck-Konstante (d.h. die Konstante geteilt durch 2π) undHist der Hamilton-Operator, der der Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie (Gesamtenergie) des Quantensystems entspricht. Der Hamilton-Operator ist jedoch selbst ein ziemlich langer Ausdruck, sodass die vollständige Gleichung wie folgt geschrieben werden kann:
−\frac{ ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ == iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
Beachten Sie, dass manchmal (für explizit dreidimensionale Probleme) die erste partielle Ableitung als Laplace-Operator geschrieben wird written written2. Im Wesentlichen wirkt der Hamilton-Operator auf die Wellenfunktion, um ihre Entwicklung in Raum und Zeit zu beschreiben. Aber in der zeitunabhängigen Version der Gleichung (d. h. wenn das System nicht vont), gibt der Hamilton-Operator die Energie des Systems an.
Die Schrödinger-Gleichung zu lösen bedeutet, diequantenmechanische Wellenfunktiondas genügt für eine bestimmte Situation.
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ist die Version aus dem vorherigen Abschnitt und beschreibt die Entwicklung der Wellenfunktion für ein Teilchen in Zeit und Raum. Ein einfacher zu betrachtender Fall ist ein freies Teilchen, da die potentielle EnergieV= 0, und die Lösung hat die Form einer ebenen Welle. Diese Lösungen haben die Form:
Ψ = Ae^{kx −ωt}
Wok = 2π / λ, λdie Wellenlänge ist undω = E / ℏ.
Für andere Situationen beschreibt der potentielle Energieteil der ursprünglichen Gleichung die Randbedingungen für die räumlicher Teil der Wellenfunktion und wird oft in eine Zeitentwicklungsfunktion und eine zeitunabhängige Gleichung.
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Für statische Situationen oder Lösungen, die stehende Wellen bilden (wie den Potentialtopf, Lösungen im Stil von „Partikel in einer Box“), können Sie die Wellenfunktion in Zeit- und Raumanteile aufteilen:
(x, t) = Ψ(x) f (t)
Wenn Sie dies vollständig durchgehen, kann der Zeitanteil gestrichen werden, so dass eine Form der Schrödinger-Gleichung übrig bleibt, dienurhängt von der Position des Teilchens ab. Die zeitunabhängige Wellenfunktion ist dann gegeben durch:
H Ψ(x) = E Ψ(x)
HierEdie Energie des quantenmechanischen Systems ist undHist der Hamilton-Operator. Diese Form der Gleichung hat die exakte Form einer Eigenwertgleichung mit der Wellenfunktion die Eigenfunktion und die Energie der Eigenwert, wenn der Hamilton-Operator angewendet wird dazu. Erweitert man den Hamilton-Operator in eine explizitere Form, kann er vollständig geschrieben werden als:
−\frac{ ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ = E Ψ(x)
Der Zeitteil der Gleichung ist in der Funktion enthalten:
f (t) = e^{\frac{iEt}{ℏ}}
Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung eignet sich gut für ziemlich einfache Lösungen, da sie die vollständige Form der Gleichung herunterschneidet. Ein perfektes Beispiel dafür ist die Lösungsgruppe „Partikel in einer Box“, bei der angenommen wird, dass sich das Partikel in einer Dimension in einem unendlichen quadratischen Potentialtopf befindet, also Nullpotential (d.h.V= 0) und es besteht keine Chance, dass das Teilchen außerhalb des Bohrlochs gefunden wird.
Es gibt auch einen endlichen quadratischen Brunnen, bei dem das Potential an den "Wänden" des Brunnens nicht unendlich ist und selbst wenn es höher als die Energie des Teilchens ist, gibt esetwasMöglichkeit, das Teilchen aufgrund von Quantentunneln außerhalb davon zu finden. Für den unendlichen Potentialtopf haben die Lösungen die Form:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
WoList die Länge des Brunnens.
Ein Deltafunktionspotential ist dem Potentialtopf sehr ähnlich, außer mit der BreiteLgegen Null gehen (d. h. um einen einzelnen Punkt unendlich klein sein) und die Tiefe des Brunnens gegen Unendlich geht, während das Produkt der beiden (U0) bleibt konstant. In dieser sehr idealisierten Situation gibt es nur einen gebundenen Zustand, gegeben durch:
Ψ(x) = \frac{\sqrt{mU_0}}{ℏ}e^{-\frac{mU_0}{ℏ^2}\vert x\vert}
Mit Energie:
E = - \frac{mU_0^2}{2ℏ^2}
Wasserstoffatomlösung zur Schrödinger-Gleichung
Schließlich hat die Wasserstoffatomlösung offensichtliche Anwendungen in der realen Physik, aber in der Praxis ist die Situation für ein Elektron um den Kern eines Wasserstoffatoms kann als ziemlich ähnlich dem Potentialtopf angesehen werden Probleme. Die Situation ist jedoch dreidimensional und lässt sich am besten in Kugelkoordinaten beschreibenr, θ, ϕ. Die Lösung ist in diesem Fall gegeben durch:
Ψ(x) = NR_{n, l}(r) P^m_{l}(\cos θ)e^{imϕ}
WoPsind die Legendre-Polynome,Rsind spezifische radiale Lösungen, undNeinist eine Konstante, die Sie dadurch festlegen, dass die Wellenfunktion normalisiert werden soll. Die Gleichung liefert Energieniveaus, die gegeben sind durch:
E = - \frac{\mu Z^2e^4}{8ϵ_0h^2n^2}
WoZhier ist die Ordnungszahl (alsoZ= 1 für ein Wasserstoffatom),eist in diesem Fall die Ladung eines Elektrons (und nicht die Konstantee = 2.7182818...), ϵ0 die Permittivität des freien Raums ist undμist die reduzierte Masse, die sich aus den Massen des Protons und des Elektrons in einem Wasserstoffatom ergibt. Dieser Ausdruck gilt für jedes wasserstoffähnliche Atom, d. h. jede Situation (einschließlich Ionen), in der ein Elektron einen zentralen Kern umkreist.