Egal, ob es eine Eisläuferin ist, die ihre Arme einzieht und sich schneller dreht, oder eine Katze, die kontrolliert, wie schnell sie sich dreht während eines Sturzes, um sicherzustellen, dass es auf seinen Füßen landet, ist das Konzept des Trägheitsmoments von entscheidender Bedeutung für die Physik der Rotation Bewegung.
Das Trägheitsmoment, auch als Rotationsträgheit bekannt, ist das Rotationsanalogon der Masse im zweites von Newtons Bewegungsgesetzen, das die Tendenz eines Objekts beschreibt, einer Winkelbeschleunigung zu widerstehen.
Das Konzept mag auf den ersten Blick nicht allzu interessant erscheinen, aber in Kombination mit dem Gesetz von der Erhaltung der Winkel Momentum kann es verwendet werden, um viele faszinierende physikalische Phänomene zu beschreiben und Bewegungen in einem weiten Bereich vorherzusagen Situationen.
Definition des Trägheitsmoments
Das Trägheitsmoment eines Objekts beschreibt seinen Widerstand gegen die Winkelbeschleunigung unter Berücksichtigung der Massenverteilung um seine Rotationsachse.
Es quantifiziert im Wesentlichen, wie schwierig es ist, die Rotationsgeschwindigkeit eines Objekts zu ändern, sei es, dass die Rotation gestartet, gestoppt oder die Geschwindigkeit eines bereits rotierenden Objekts geändert wird.
Es wird manchmal Rotationsträgheit genannt, und es ist nützlich, es als Analogon der Masse im zweiten Newtonschen Gesetz zu betrachten:FNetz = ma. Hier wird die Masse eines Objekts oft als Trägheitsmasse bezeichnet und beschreibt den Widerstand des Objekts gegen (lineare) Bewegung. Die Rotationsträgheit funktioniert bei Rotationsbewegungen genauso, und die mathematische Definition beinhaltet immer die Masse.
Der äquivalente Ausdruck zum zweiten Hauptsatz für Rotationsbewegungen bezieht sichDrehmoment (τ, das Rotationsanalogon der Kraft) zur Winkelbeschleunigungαund Trägheitsmomentich:
\tau =I\alpha
Dasselbe Objekt kann jedoch mehrere Trägheitsmomente haben, denn während ein großer Teil der Definition um die Massenverteilung geht, berücksichtigt sie auch die Lage der Rotationsachse.
Während beispielsweise das Trägheitsmoment für einen um seinen Mittelpunkt rotierenden Stab centerich = ML2/12 (woMist Masse undList die Länge des Stabes), hat derselbe Stab, der sich um ein Ende dreht, ein Trägheitsmoment gegeben durchich = ML2/3.
Gleichungen für das Trägheitsmoment
Das Trägheitsmoment eines Körpers hängt also von seiner Masse abM, sein RadiusRund seine Drehachse.
In manchen Fällen,Rwird bezeichnet alsd, für den Abstand von der Drehachse, und in anderen (wie bei der Stange im vorherigen Abschnitt) wird es durch Länge ersetzt,L. Das Symbolichwird für das Trägheitsmoment verwendet und hat die Einheit kg m2.
Wie Sie aufgrund des bisher Gelernten erwarten können, gibt es viele verschiedene Gleichungen für das Trägheitsmoment, und jede bezieht sich auf eine bestimmte Form und eine bestimmte Rotationsachse. In allen Trägheitsmomenten ist der BegriffHERR2 erscheint, obwohl für verschiedene Formen verschiedene Brüche vor diesem Term stehen und in einigen Fällen mehrere Terme summiert werden können.
DasHERR2 Komponente ist das Trägheitsmoment für eine Punktmasse im AbstandRvon der Drehachse, und die Gleichung für einen bestimmten starren Körper wird als Summe von Punktmassen oder durch Integration einer unendlichen Anzahl kleiner Punktmassen über das Objekt gebildet.
Während es in einigen Fällen nützlich sein kann, das Trägheitsmoment eines Objekts basierend auf einer einfachen arithmetischen Summe von Punktmassen oder durch integrierend, in der Praxis gibt es viele Ergebnisse für gängige Formen und Rotationsachsen, die Sie einfach verwenden können, ohne sie ableiten zu müssen zuerst:
Vollzylinder (Symmetrieachse):
I = \frac{1}{2} MR^2
Vollzylinder (mittlere Durchmesserachse oder der Durchmesser des kreisförmigen Querschnitts in der Mitte des Zylinders):
I = \frac{1}{4} MR^2+\frac{1}{12} ML^2
Vollkugel (Mittelachse):
I = \frac{2}{5} MR^2
Dünne Kugelschale (Mittelachse):
I = \frac{2}{3} MR^2
Rahmen (Symmetrieachse, d. h. senkrecht durch die Mitte):
Ich = MR^2
Rahmen (Durchmesserachse, d. h. über den Durchmesser des durch den Rahmen gebildeten Kreises):
I = \frac{1}{2} MR^2
Stab (Mittelachse, senkrecht zur Stablänge):
I = \frac{1}{12} ML^2
Stange (um das Ende drehend):
I = \frac{1}{3} ML^2
Rotationsträgheit und Rotationsachse
Zu verstehen, warum es für jede Rotationsachse unterschiedliche Gleichungen gibt, ist ein wichtiger Schritt, um das Konzept des Trägheitsmoments zu verstehen.
Denken Sie an einen Bleistift: Sie können ihn drehen, indem Sie ihn in der Mitte, am Ende oder um seine Mittelachse drehen. Da die Rotationsträgheit eines Objekts von der Massenverteilung um die Rotationsachse abhängt, ist jede dieser Situationen anders und erfordert eine separate Gleichung, um sie zu beschreiben.
Sie können das Konzept des Trägheitsmoments instinktiv verstehen, wenn Sie dasselbe Argument auf einen 30-Fuß-Fahnenmast skalieren.
Es wäre sehr schwierig, es übereinander zu drehen – wenn Sie es überhaupt schaffen könnten –, während es viel einfacher wäre, die Stange um ihre Mittelachse zu drehen. Dies liegt daran, dass das Drehmoment stark vom Abstand von der Drehachse abhängt und in der 30-Fuß Beispiel für eine Fahnenstange, wenn sie übereinander gedreht wird, bedeutet dies, dass jedes extreme Ende 15 Fuß von der Achse entfernt ist Drehung.
Wenn man es jedoch um die Mittelachse dreht, ist alles ziemlich nah an der Achse. Die Situation ist ähnlich wie das Tragen eines schweren Gegenstands auf Armlänge vs. halten Sie es nah an Ihrem Körper oder betätigen Sie einen Hebel vom Ende vs. nahe dem Drehpunkt.
Aus diesem Grund benötigen Sie eine andere Gleichung, um das Trägheitsmoment für dasselbe Objekt in Abhängigkeit von der Rotationsachse zu beschreiben. Die von Ihnen gewählte Achse beeinflusst, wie weit Teile des Körpers von der Rotationsachse entfernt sind, obwohl die Masse des Körpers gleich bleibt.
Verwenden der Gleichungen für das Trägheitsmoment
Der Schlüssel zur Berechnung des Trägheitsmoments für einen starren Körper besteht darin, die entsprechenden Gleichungen zu verwenden und anzuwenden.
Betrachten Sie den Bleistift aus dem vorherigen Abschnitt, der Ende über Ende um einen zentralen Punkt entlang seiner Länge gedreht wird. Es ist zwar keinperfektStab (die spitze Spitze durchbricht diese Form zum Beispiel) kann er als solcher modelliert werden, um Ihnen die Ableitung des vollen Trägheitsmoments für das Objekt zu ersparen.
Wenn Sie das Objekt als Stab modellieren, würden Sie die folgende Gleichung verwenden, um das Trägheitsmoment kombiniert mit der Gesamtmasse und der Länge des Bleistifts zu ermitteln:
I = \frac{1}{12} ML^2
Eine größere Herausforderung besteht darin, das Trägheitsmoment für zusammengesetzte Objekte zu ermitteln.
Betrachten Sie zum Beispiel zwei Kugeln, die durch eine Stange miteinander verbunden sind (die wir zur Vereinfachung des Problems als masselos behandeln werden). Ball eins wiegt 2 kg und ist 2 m von der Rotationsachse entfernt, und Ball zwei hat eine Masse von 5 kg und ist 3 m von der Rotationsachse entfernt.
In diesem Fall können Sie das Trägheitsmoment für dieses zusammengesetzte Objekt ermitteln, indem Sie jede Kugel als Punktmasse betrachten und von der grundlegenden Definition ausgehen, dass:
\begin{aligned} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2 + m_3r_3^2….\\ &= \sum_{\mathclap{i}}m_ir_i^2 \end{aligned}
Mit den tiefgestellten Indizes, die einfach zwischen verschiedenen Objekten unterscheiden (d. h. Ball 1 und Ball 2). Das Zwei-Kugel-Objekt hätte dann:
\begin{ausgerichtet} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2\\ &= 2 \;\text{kg} × (2 \;\text{m})^2 + 5 \;\text{kg} × (3 \;\text{m})^2 \\ &= 8 \;\text{kg m}^2 + 45 \;\text{kg m}^2 \\ &= 53 \;\text{kg m}^2 \end{ausgerichtet}
Trägheitsmoment und Erhaltung des Drehimpulses
Der Drehimpuls (das Rotationsanalogon für den Linearimpuls) ist definiert als das Produkt der Rotationsträgheit (d. h. das Trägheitsmoment,ich) des Objekts und seiner Winkelgeschwindigkeitω), die in Grad/s oder rad/s gemessen wird.
Sie werden sicherlich mit dem Gesetz der Impulserhaltung vertraut sein, und auch der Drehimpuls wird auf die gleiche Weise erhalten. Die Gleichung für den DrehimpulsL) ist:
L = Ichω
Das Nachdenken darüber, was dies in der Praxis bedeutet, erklärt viele physikalische Phänomene, denn (in Abwesenheit anderer Kräfte) ist die Rotationsträgheit eines Objekts umso geringer, je höher seine Winkelgeschwindigkeit ist.
Stellen Sie sich einen Eisläufer vor, der sich mit ausgestreckten Armen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht, und beachten Sie, dass seine ausgestreckten Arme den Radius vergrößernRüber den sich seine Masse verteilt, was zu einem größeren Trägheitsmoment führt, als wenn seine Arme nah am Körper wären.
WennL1 wird mit ausgestreckten Armen berechnet, undL2, nach dem Einziehen müssen seine Arme den gleichen Wert haben (weil der Drehimpuls erhalten bleibt), was passiert, wenn er sein Trägheitsmoment durch das Einziehen seiner Arme verringert? Seine Winkelgeschwindigkeitωerhöht, um das zu kompensieren.
Katzen führen ähnliche Bewegungen aus, damit sie beim Fallen auf den Füßen landen.
Durch das Ausstrecken der Beine und des Schwanzes erhöhen sie ihr Trägheitsmoment und reduzieren ihre Rotationsgeschwindigkeit, und umgekehrt können sie ihre Beine einziehen, um ihr Trägheitsmoment zu verringern und ihre Rotationsgeschwindigkeit zu erhöhen. Sie nutzen diese beiden Strategien – zusammen mit anderen Aspekten ihres „Aufrichtreflexes“ – um sicherzustellen, dass ihre Füße landen zuerst, und Sie können verschiedene Phasen des Einrollens und Streckens in Zeitrafferfotos einer Katze sehen Landung.
Trägheitsmoment und kinetische Rotationsenergie
In Fortsetzung der Parallelen zwischen linearer Bewegung und Rotationsbewegung haben Objekte auch kinetische Rotationsenergie auf die gleiche Weise wie lineare kinetische Energie.
Stellen Sie sich einen Ball vor, der über den Boden rollt, sich sowohl um seine Mittelachse dreht als auch sich linear vorwärts bewegt: Die gesamte kinetische Energie des Balls ist die Summe seiner linearen kinetischen EnergieEk und seine kinetische RotationsenergieEverrotten. Die Parallelen zwischen diesen beiden Energien spiegeln sich in den Gleichungen für beide wider, wobei man sich daran erinnert, dass die. eines Objekts Trägheitsmoment ist das Rotationsanalogon der Masse und seine Winkelgeschwindigkeit ist das Rotationsanalogon von Linear Geschwindigkeitv):
E_k = \frac{1}{2}mv^2
E_{rot} = \frac{1}{2}Iω^2
Sie können deutlich sehen, dass beide Gleichungen genau die gleiche Form haben, wobei die entsprechenden Rotationsanaloga für die kinetische Rotationsenergiegleichung ersetzt wurden.
Um die kinetische Rotationsenergie zu berechnen, müssen Sie natürlich den entsprechenden Ausdruck für das Trägheitsmoment des Objekts in den Raum für einsetzenich. Betrachtet man den Ball und modelliert das Objekt als feste Kugel, lautet die Gleichung in diesem Fall:
\begin{aligned} E_{rot} &= \bigg(\frac{2}{5} MR^2\bigg) \frac{1}{2} ω^2 \\ &= \frac{1}{5 }MR^2 ω^2 \end{ausgerichtet}
Die gesamte kinetische Energie (EKnirps) ist die Summe aus dieser und der kinetischen Energie des Balls. Sie können also schreiben:
\begin{aligned} E_{tot} &= E_k + E_{rot} \\ &= \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}MR^2 ω^2 \end{ ausgerichtet}
Für eine 1-kg-Kugel, die sich mit einer linearen Geschwindigkeit von 2 m/s, einem Radius von 0,3 m und einer Winkelgeschwindigkeit von 2/ rad/s bewegt, wäre die Gesamtenergie:
\begin{aligned} E_{tot} &= \frac{1}{2} 1 \;\text{kg} × (2 \;\text{m/s})^2 + \frac{1}{5 }(1 \;\text{kg} × (0,3 \;\text{m})^2 × (2π \;\text{rad/s})^2) \\ &= 2 \;\text{J} + 0,71 \;\text{J} \\ & = 2,71 \;\text{J} \end{ausgerichtet}
Je nach Situation kann ein Objekt nur lineare kinetische Energie besitzen (z. B. ein Ball, der von eine Höhe ohne Spin) oder nur kinetische Rotationsenergie (ein Ball dreht sich, bleibt aber an Ort und Stelle).
Denken Sie daran, dass es so istgesamtEnergie, die gespart wird. Wenn ein Ball ohne anfängliche Rotation gegen eine Wand getreten wird und er mit geringerer Geschwindigkeit, aber mit einem Spin zurückprallt, sowie die Energie Beim Kontakt geht ein Teil der anfänglichen kinetischen Energie in kinetische Rotationsenergie über, so dass es an Schall und Wärme verloren gehtkippenbewegen Sie sich möglicherweise so schnell wie vor dem Zurückprallen.
