Wie man Kombinationen und Permutationen berechnet

Angenommen, Sie haben n Arten von Elementen und möchten eine Sammlung von r davon auswählen. Möglicherweise möchten wir diese Artikel in einer bestimmten Reihenfolge. Wir nennen diese Mengen von Items Permutationen. Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, nennen wir den Sammlungssatz Kombinationen. Sowohl für Kombinationen als auch für Permutationen können Sie den Fall betrachten, in dem Sie einige der n Typen mehr als wählen einmal, was "mit Wiederholung" genannt wird, oder der Fall, in dem Sie jeden Typ nur einmal auswählen, was "nein" genannt wird Wiederholung'. Ziel ist es, die Anzahl der in einer gegebenen Situation möglichen Kombinationen oder Permutationen zählen zu können.

Die Fakultätsfunktion wird häufig bei der Berechnung von Kombinationen und Permutationen verwendet. N! bedeutet N×(N–1)×...×2×1. Zum Beispiel 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Die Anzahl der Möglichkeiten, eine Reihe von Artikeln zu bestellen, ist eine Fakultät. Nimm die drei Buchstaben a, b und c. Sie haben drei Möglichkeiten für den ersten Buchstaben, zwei für den zweiten und nur eine für den dritten. Mit anderen Worten, insgesamt 3×2×1 = 6 Ordnungen. Im Allgemeinen gibt es n! Möglichkeiten, n Artikel zu bestellen.

Angenommen, Sie haben drei Räume, die Sie streichen möchten, und jeder wird in einer von fünf Farben gestrichen: Rot (r), Grün (g), Blau (b), Gelb (y) oder Orange (o). Sie können jede Farbe so oft wählen, wie Sie möchten. Für den ersten Raum haben Sie fünf Farben zur Auswahl, für den zweiten fünf und für den dritten fünf. Dies ergibt insgesamt 5×5×5 = 125 Möglichkeiten. Im Allgemeinen beträgt die Anzahl der Möglichkeiten, eine Gruppe von r Elementen in einer bestimmten Reihenfolge aus n wiederholbaren Auswahlmöglichkeiten auszuwählen, n^r.

Nehmen wir nun an, jeder Raum wird eine andere Farbe haben. Sie können aus fünf Farben für den ersten Raum wählen, vier für den zweiten und nur drei für den dritten. Dies ergibt 5×4×3 = 60, was zufällig 5!/2! ist. Im Allgemeinen beträgt die Anzahl der unabhängigen Möglichkeiten, r Elemente in einer bestimmten Reihenfolge aus n nicht wiederholbaren Auswahlmöglichkeiten auszuwählen, n!/(n–r)!.

Als nächstes vergessen Sie, welcher Raum welche Farbe hat. Wählen Sie einfach drei unabhängige Farben für das Farbschema aus. Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle, also (rot, grün, blau) ist gleich (rot, blau, grün). Für jede Auswahl von drei Farben gibt es 3! Möglichkeiten, sie zu bestellen. Sie reduzieren also die Anzahl der Permutationen um 3! um 5!/(2!×3!) = 10 zu erhalten. Im Allgemeinen können Sie eine Gruppe von r Elementen in beliebiger Reihenfolge aus einer Auswahl von n nicht wiederholbaren Auswahlmöglichkeiten auf n!/[(n–r)!×r!] Arten auswählen.

Schließlich müssen Sie ein Farbschema erstellen, in dem Sie jede Farbe so oft verwenden können, wie Sie möchten. Ein cleverer Buchhaltungscode hilft bei dieser Zählaufgabe. Verwenden Sie drei X, um die Räume darzustellen. Ihre Farbliste wird durch 'rgbyo' dargestellt. Mischen Sie die Xs in Ihre Farbliste und verknüpfen Sie jedes X mit der ersten Farbe links davon. rgXXbyXo bedeutet beispielsweise, dass der erste Raum grün ist, der zweite grün und der dritte gelb. Ein X muss links mindestens eine Farbe haben, also gibt es fünf freie Plätze für das erste X. Da die Liste jetzt ein X enthält, gibt es sechs verfügbare Slots für das zweite X und sieben verfügbare Slots für das dritte X. Insgesamt gibt es 5×6×7 = 7!/4! Möglichkeiten, den Code zu schreiben. Allerdings ist die Reihenfolge der Räume beliebig, es gibt also wirklich nur 7!/(4!×3!) einzigartige Arrangements. Im Allgemeinen können Sie r Elemente in beliebiger Reihenfolge aus n wiederholbaren Auswahlmöglichkeiten auf (n+r–1)!/[(n–1)!×r!]-Arten auswählen.