Um einen Vektor zu konstruieren, der senkrecht zu einem anderen gegebenen Vektor steht, können Sie Techniken verwenden, die auf dem Punktprodukt und dem Kreuzprodukt von Vektoren basieren. Das Skalarprodukt der Vektoren A = (a1, a2, a3) und B = (b1, b2, b3) ist gleich der Summe der Produkte der entsprechenden Komponenten: A∙B = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3. Stehen zwei Vektoren senkrecht, so ist ihr Skalarprodukt gleich Null. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist definiert als A×B = (a2_b3 – a3_b2, a3_b1 – a1_b3, a1_b2 – a2*b1). Das Kreuzprodukt zweier nicht paralleler Vektoren ist ein Vektor, der senkrecht zu beiden steht.
Schreiben Sie einen hypothetischen, unbekannten Vektor V = (v1, v2) auf.
Berechnen Sie das Skalarprodukt dieses Vektors und des gegebenen Vektors. Ist U = (-3,10) gegeben, dann ist das Skalarprodukt V∙U = -3 v1 + 10 v2.
Setze das Skalarprodukt gleich 0 und löse nach einer unbekannten Komponente in Bezug auf die andere auf: v2 = (3/10) v1.
Wählen Sie einen beliebigen Wert für v1. Sei zum Beispiel v1 = 1.
Nach v2 auflösen: v2 = 0,3. Der Vektor V = (1,0.3) steht senkrecht auf U = (-3,10). Wenn Sie v1 = -1 wählen, erhalten Sie den Vektor V’ = (-1, -0.3), der in die entgegengesetzte Richtung der ersten Lösung zeigt. Dies sind die einzigen zwei Richtungen in der zweidimensionalen Ebene senkrecht zum gegebenen Vektor. Sie können den neuen Vektor auf jede gewünschte Größe skalieren. Um ihn beispielsweise zu einem Einheitsvektor mit der Größe 1 zu machen, würden Sie W = V/(Größe von v) = V/(sqrt (10) = (1/sqrt (10), 0,3/sqrt (10)) konstruieren.
Wählen Sie einen beliebigen Vektor, der nicht parallel zum gegebenen Vektor ist. Wenn ein Vektor Y parallel zu einem Vektor X ist, dann ist Y = a*X für eine von Null verschiedene Konstante a. Verwenden Sie der Einfachheit halber einen der Einheitsbasisvektoren, z. B. X = (1, 0, 0).
Berechnen Sie das Kreuzprodukt von X und U mit U = (10, 4, -1): W = X×U = (0, 1, 4).
Prüfen Sie, ob W senkrecht zu U steht. W∙U = 0 + 4 - 4 = 0. Die Verwendung von Y = (0, 1, 0) oder Z = (0, 0, 1) würde unterschiedliche senkrechte Vektoren ergeben. Sie würden alle in der Ebene liegen, die durch die Gleichung 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0 definiert ist.