Die Integration von Funktionen ist eine der Kernanwendungen der Infinitesimalrechnung. Manchmal ist dies einfach, wie in:
F(x) = \int( x^3 + 8) dx
In einem vergleichsweise komplizierten Beispiel dieser Art können Sie eine Version der Grundformel für die Integration unbestimmter Integrale verwenden:
\int (x^n + A) dx = \frac{x^{(n + 1)}}{n + 1} + Ax + C
woEINundCsind Konstanten.
Also für dieses Beispiel
\int x^3 + 8 = \frac{x^4}{4} + 8x + C
Integration grundlegender Quadratwurzelfunktionen
Oberflächlich betrachtet ist die Integration einer Quadratwurzelfunktion umständlich. Sie können beispielsweise behindert werden durch:
F(x) = \int \sqrt{(x^3) + 2x - 7}dx
Aber Sie können eine Quadratwurzel als Exponenten 1/2 ausdrücken:
\sqrt{x^3} = x^{3(1/2)} = x^{(3/2)}
Das Integral wird daher:
\int (x^{3/2} + 2x - 7)dx
auf die Sie die übliche Formel von oben anwenden können:
\begin{ausgerichtet} \int (x^{3/2} + 2x - 7)dx &= \frac{x^{(5/2)}}{5/2} + 2\bigg(\frac{x ^2}{2}\bigg) - 7x \\ &= \frac{2}{5}x^{(5/2)} + x^2 - 7x \end{ausgerichtet}
Integration komplexerer Quadratwurzelfunktionen
Manchmal können Sie mehr als einen Begriff unter dem Radikalzeichen haben, wie in diesem Beispiel:
F(x) = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x - 3}}dx
Sie können verwendendu-Ersetzung, um fortzufahren. Hier stellen Sie eindugleich der Menge im Nenner:
u = \sqrt{x - 3}
Löse das fürxindem man beide Seiten quadriert und subtrahiert:
u^2 = x - 3 \\ x = u^2 + 3
Dies ermöglicht es Ihnen, dx in Bezug auf zu erhaltenduindem man die Ableitung von bildetx:
dx = (2u) du
Wiedereinsetzen in das ursprüngliche Integral ergibt
\begin{ausgerichtet} F(x) &= \int \frac{u^2 + 3 + 1}{u}(2u) du \\ &= \int \frac{2u^3 + 6u + 2u}{u }du \\ &= \int (2u^2 + 8)du \end{ausgerichtet}
Jetzt können Sie dies mit der Grundformel integrieren und ausdrückendubezüglichx:
\begin{aligned} \int (2u^2 + 8)du &= \frac{2}{3}u^3 + 8u + C \\ &= \frac{2}{3} (\sqrt{x - 3})^3 + 8(\sqrt{x - 3}) + C \\ &= \frac{2}{3} (x - 3)^{(3/2)} + 8(x - 3) ^{(1/2)} + C \end{ausgerichtet}