Ähnliche Dreiecke haben die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Größe. Wenn Dreiecke ähnlich sind, haben sie viele der gleichen Eigenschaften und Merkmale. Dreiecksähnlichkeitssätze spezifizieren die Bedingungen, unter denen zwei Dreiecke ähnlich sind, und behandeln die Seiten und Winkel jedes Dreiecks. Sobald eine bestimmte Kombination von Winkeln und Seiten die Sätze erfüllt, können Sie die Dreiecke als ähnlich betrachten.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Es gibt drei Dreiecksähnlichkeitssätze, die angeben, unter welchen Bedingungen Dreiecke ähnlich sind:
- Wenn zwei der Winkel gleich sind, ist der dritte Winkel gleich und die Dreiecke sind ähnlich.
- Wenn die drei Seiten die gleichen Proportionen haben, sind die Dreiecke ähnlich.
- Wenn zwei Seiten die gleichen Proportionen haben und der eingeschlossene Winkel gleich ist, sind die Dreiecke ähnlich.
Die AA-, AAA- und Winkel-Winkel-Theoreme
Wenn zwei der Winkel zweier Dreiecke gleich sind, sind die Dreiecke ähnlich. Dies wird aus der Beobachtung deutlich, dass sich die drei Winkel eines Dreiecks zu 180 Grad addieren müssen. Wenn zwei der Winkel bekannt sind, kann der dritte ermittelt werden, indem die beiden bekannten Winkel von 180 abgezogen werden. Wenn die drei Winkel zweier Dreiecke gleich sind, haben die Dreiecke die gleiche Form und sind ähnlich.
Das SSS oder Side-Side-Side-Theorem
Wenn alle drei Seiten zweier Dreiecke gleich sind, sind die Dreiecke nicht nur ähnlich, sie sind deckungsgleich oder identisch. Bei ähnlichen Dreiecken müssen nur die drei Seiten zweier Dreiecke proportional sein. Zum Beispiel, wenn ein Dreieck Seiten von 3, 5 und 6 Zoll hat und ein zweites Dreieck Seiten von 9, 15 und 18 Zoll hat Zoll, jede der Seiten des größeren Dreiecks ist dreimal so lang wie eine der Seiten des kleineren Dreieck. Die Seiten sind proportional zueinander und die Dreiecke sind ähnlich.
Das SAS oder Side-Winkel-Side-Theorem
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei der Seiten von zwei Dreiecken proportional sind und der eingeschlossene Winkel oder der Winkel zwischen den Seiten gleich ist. Wenn beispielsweise zwei Seiten eines Dreiecks 2 und 3 Zoll groß sind und die eines anderen Dreiecks 4 und 6 Zoll groß sind Zoll, die Seiten sind proportional, aber die Dreiecke sind möglicherweise nicht ähnlich, da die beiden dritten Seiten beliebig sein können Länge. Wenn der eingeschlossene Winkel gleich ist, sind alle drei Seiten der Dreiecke proportional und die Dreiecke sind ähnlich.
Andere mögliche Winkel-Seiten-Kombinationen
Wenn einer der drei Dreiecksähnlichkeitssätze für zwei Dreiecke erfüllt ist, sind die Dreiecke ähnlich. Es gibt jedoch andere mögliche Seitenwinkelkombinationen, die Ähnlichkeit garantieren oder nicht.
Für die Konfigurationen, die als Winkel-Winkel-Seite (AAS), Winkel-Seite-Winkel (ASA) oder Seiten-Winkel-Winkel (SAA) bekannt sind, spielt es keine Rolle, wie groß die Seiten sind; die Dreiecke werden immer ähnlich sein. Diese Konfigurationen reduzieren sich auf das Winkel-Winkel-AA-Theorem, was bedeutet, dass alle drei Winkel gleich und die Dreiecke ähnlich sind.
Die Konfigurationen Seite-Seite-Winkel oder Winkel-Seite-Seite stellen jedoch keine Ähnlichkeit sicher. (Verwechseln Sie Seitenwinkel nicht mit Seitenwinkel-Seite; die "Seiten" und "Winkel" in jedem Namen beziehen sich auf die Reihenfolge, in der Sie auf die Seiten und Winkel treffen.) In bestimmten Fällen, wie z für rechtwinklige Dreiecke, wenn zwei Seiten proportional sind und Winkel, die nicht eingeschlossen sind, gleich sind, sind die Dreiecke ähnlich. In allen anderen Fällen können die Dreiecke ähnlich sein oder nicht.
Ähnliche Dreiecke passen ineinander, können parallele Seiten haben und von einem zum anderen skalieren. Die Bestimmung, ob zwei Dreiecke ähnlich sind, unter Verwendung der Dreiecksähnlichkeitssätze ist wichtig, wenn solche Eigenschaften verwendet werden, um geometrische Probleme zu lösen.