Ein Radikal oder eine Wurzel ist das mathematische Gegenteil eines Exponenten, so wie die Addition das Gegenteil der Subtraktion ist. Das kleinste Radikal ist die Quadratwurzel, dargestellt durch das Symbol √. Das nächste Radikal ist die Kubikwurzel, dargestellt durch das Symbol ³√. Die kleine Zahl vor dem Radikal ist seine Indexnummer. Die Indexzahl kann eine beliebige ganze Zahl sein und stellt auch den Exponenten dar, der verwendet werden könnte, um diesen Rest auszulöschen. Zum Beispiel würde eine Potenz von 3 eine Kubikwurzel aufheben.
Allgemeine Regeln für jeden Radikalen
Das Ergebnis einer Radikaloperation ist positiv, wenn die Zahl unter dem Radikal positiv ist. Das Ergebnis ist negativ, wenn die Zahl unter dem Radikal negativ und die Indexzahl ungerade ist. Eine negative Zahl unter dem Radikal mit einer geraden Indexzahl erzeugt eine irrationale Zahl. Denken Sie daran, dass die Indexnummer einer Quadratwurzel 2 ist, obwohl sie nicht angezeigt wird.
Produkt- und Quotientenregeln
Um zwei Reste zu multiplizieren oder zu dividieren, müssen die Reste die gleiche Indexnummer haben. Die Produktregel schreibt vor, dass die Multiplikation zweier Radikale einfach die Werte innerhalb multipliziert und die Antwort innerhalb des gleichen Radikaltyps platziert, wenn möglich vereinfacht. Beispielsweise,
\sqrt[3]{2}× \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8}
was vereinfacht werden kann zu 2. Diese Regel kann auch umgekehrt funktionieren, indem ein größeres Radikal in zwei kleinere Radikalmultiplikatoren gespalten wird.
Die Quotientenregel besagt, dass ein Radikal durch ein anderes geteilt wird, als würde man die Zahlen teilen und sie unter dasselbe Radikalsymbol stellen. Beispielsweise,
\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{4}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}}
Genau wie die Produktregel können Sie auch die Quotientenregel umkehren, um einen Bruch unter einem Radikal in zwei einzelne Radikale aufzuspalten.
Tipps
Hier ist ein wichtiger Tipp zum Vereinfachen von Quadratwurzeln und anderen geraden Wurzeln: Wenn die Indexzahl gerade ist, dürfen die Zahlen innerhalb der Wurzel nicht negativ sein. In jeder Situation kann der Nenner des Bruchs nicht gleich 0 sein.
Vereinfachen von Quadratwurzeln und anderen Radikalen
Einige Radikale lösen sich leicht, da sich die Zahl im Inneren zu einer ganzen Zahl auflöst, z. B. √16 = 4. Aber die meisten werden nicht so sauber vereinfachen. Die Produktregel kann umgekehrt verwendet werden, um kniffligere Radikale zu vereinfachen. Zum Beispiel ist √27 auch gleich √9 × √3. Da √9 = 3, kann dieses Problem auf 3√3 vereinfacht werden. Dies ist auch dann möglich, wenn eine Variable unter dem Radikal steht, obwohl die Variable unter dem Radikal bleiben muss.
Rationale Brüche können auf ähnliche Weise mit der Quotientenregel gelöst werden. Beispielsweise,
\sqrt{\frac{5}{49}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{49}}
Da √49 = 7 ist, kann der Bruch zu √5 ÷ 7 vereinfacht werden.
Exponenten, Radikale und vereinfachende Quadratwurzeln
Radikale können aus Gleichungen eliminiert werden, indem die Exponentenversion der Indexzahl verwendet wird. Zum Beispiel in der Gleichung √x= 4, das Radikal wird durch Erhöhung beider Seiten in die zweite Potenz aufgehoben:
(\sqrt{x})^2 = (4)^2\text{ oder } x = 16
Der inverse Exponent der Indexzahl entspricht dem Radikal selbst. Zum Beispiel ist 9 dasselbe wie 91/2. Das Radikal auf diese Weise zu schreiben kann nützlich sein, wenn Sie mit einer Gleichung arbeiten, die eine große Anzahl von Exponenten hat.
