Die meisten Leute erinnern sich an dieSatz des Pythagorasvon Anfängergeometrie — es ist ein Klassiker. Es ist
a^2 + b^2 = c^2
woein, bundcsind die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks (cist die Hypotenuse). Nun, dieser Satz kann auch für die Trigonometrie umgeschrieben werden!
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
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Pythagoräische Identitäten sind Gleichungen, die den Satz des Pythagoras in Bezug auf die trigonometrischen Funktionen schreiben.
Das WichtigstePythagoräische Identitätensind:
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 \\ 1 + \tan^2(θ) = \sec^2(θ) \\ 1 + \cot^2(θ) = \csc ^2(θ)
Die pythagoräischen Identitäten sind Beispiele fürtrigonometrische Identitäten: Gleichungen (Gleichungen), die trigonometrische Funktionen verwenden.
Warum spielt es eine Rolle?
Die pythagoräischen Identitäten können sehr nützlich sein, um komplizierte trigonometrische Aussagen und Gleichungen zu vereinfachen. Prägen Sie sie sich jetzt ein, und Sie können viel Zeit auf der Straße sparen!
Beweis mit den Definitionen der trigonometrischen Funktionen
Diese Identitäten sind ziemlich einfach zu beweisen, wenn man über die Definitionen der trigonometrischen Funktionen nachdenkt. Lass uns das zum Beispiel beweisen
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1
Denken Sie daran, dass die Definition von Sinus entgegengesetzte Seite / Hypotenuse ist und dass Cosinus benachbarte Seite / Hypotenuse ist.
So
\sin^2 = \frac{\text{Gegenteil}^2} {\text{Hypotenuse}^2}
Und
\cos^2 = \frac{\text{adjacent}^2} {\text{Hypotenuse}^2}
Sie können diese beiden leicht addieren, da die Nenner gleich sind.
\sin^2 + \cos^2 = \frac{ \text{entgegengesetzt}^2 + \text{angrenzend}^2} {\text{hypotenuse}^2}
Schauen Sie sich nun noch einmal den Satz des Pythagoras an. Es steht dassein2 + b2 = c2. Denk daran, dasseinundbstehen für die gegenüberliegende und benachbarte Seite, undcsteht für die Hypotenuse.
Sie können die Gleichung neu anordnen, indem Sie beide Seiten durch teilenc2:
a^2 + b^2 = c^2 \\ \frac{a^2 + b^2}{ c^2 } = 1
Schon seitein2 undb2 sind die gegenüberliegenden und angrenzenden Seiten undc2 die Hypotenuse ist, haben Sie eine äquivalente Aussage zu der obigen, mit (Gegenteil2 + angrenzend2) / Hypotenuse2. Und dank der Arbeit mitein, b, cund dem Satz des Pythagoras können Sie jetzt sehen, dass diese Aussage gleich 1 ist!
So
\frac{ \text{Gegenteil}^2 + \text{angrenzend}^2} {\text{Hypotenuse}^2} = 1
und deshalb:
\sin^2 + \cos^2 = 1
(Und es ist besser, es richtig aufzuschreiben: Sünde2(θ) + cos2(θ) = 1).
Die wechselseitigen Identitäten
Lass uns ein paar Minuten damit verbringen, uns das anzusehengegenseitige Identitätenauch. Denken Sie daran, dass diegegenseitigist eins dividiert durch ("über") Ihre Zahl – auch bekannt als die Umkehrung.
Da der Kosekans der Kehrwert des Sinus ist:
\csc(θ) = \frac{1}{\sin(θ)}
Sie können auch an Kosekans denken, indem Sie die Definition von Sinus verwenden. Zum Beispiel Sinus = Gegenseite / Hypotenuse. Die Umkehrung davon ist der auf den Kopf gedrehte Bruch, der Hypotenuse / gegenüberliegende Seite ist.
In ähnlicher Weise ist der Kehrwert des Kosinus sekant, also definiert als
\sec (θ) = \frac{1}{\cos(θ)} \text{ oder } \frac{\text{hypotenuse}}{\text{angrenzende Seite}}
Und der Kehrwert des Tangens ist kotangens, also
\cot(θ) = \frac{1}{\tan(θ)} = \frac{\text{angrenzende Seite}}{\text{gegenüberliegende Seite}}
Die Beweise für die pythagoräischen Identitäten mit Sekant und Kosekans sind denen für Sinus und Kosinus sehr ähnlich. Sie können die Gleichungen auch mit der "Eltern"-Gleichung ableiten, sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Teilen Sie beide Seiten durch cos2(θ) um die Identität 1 + tan. zu erhalten2(θ) = Sek2(θ). Teilen Sie beide Seiten durch die Sünde2(θ) um die Identität 1 + Kinderbett zu erhalten2(θ) = csc2(θ).
Viel Glück und prägt euch die drei pythagoräischen Identitäten ein!