So finden Sie vertikale und horizontale Asymptoten

In einem Graphen ausgedrückt, sind einige Funktionen von negativ unendlich bis positiv unendlich stetig. Dies ist jedoch nicht immer der Fall: Andere Funktionen brechen an einer Unstetigkeitsstelle ab oder schalten ab und kommen nie über einen bestimmten Punkt im Diagramm hinaus. Vertikale und horizontale Asymptoten sind gerade Linien, die den Wert definieren, dem sich eine gegebene Funktion nähert, wenn sie sich nicht in entgegengesetzte Richtungen bis unendlich erstreckt. Horizontale Asymptoten folgen immer der Formel y = C, während vertikale Asymptoten immer der ähnlichen Formel x = C folgen, wobei der Wert C eine beliebige Konstante darstellt. Das Auffinden von Asymptoten, egal ob diese Asymptoten horizontal oder vertikal sind, ist eine einfache Aufgabe, wenn Sie einige Schritte ausführen.

Um eine vertikale Asymptote zu finden, schreiben Sie zuerst die Funktion, deren Asymptote Sie bestimmen möchten. Höchstwahrscheinlich wird diese Funktion eine rationale Funktion sein, bei der die Variable x irgendwo im Nenner enthalten ist. Wenn der Nenner einer rationalen Funktion gegen Null geht, hat er in der Regel eine vertikale Asymptote. Nachdem Sie Ihre Funktion geschrieben haben, finden Sie den Wert von x, der den Nenner gleich Null macht. Wenn die Funktion, mit der Sie arbeiten, beispielsweise y = 1/(x + 2) ist, würden Sie die Gleichung x + 2 = 0 lösen, eine Gleichung mit der Antwort x = -2. Für komplexere Funktionen kann es mehr als eine mögliche Lösung geben.

Sobald Sie den x-Wert Ihrer Funktion gefunden haben, nehmen Sie den Grenzwert der Funktion, da x sich dem gefundenen Wert aus beiden Richtungen nähert. In diesem Beispiel nähert sich x von links -2, und y nähert sich negativer Unendlichkeit; wenn -2 von rechts angenähert wird, nähert sich y positiver Unendlichkeit. Dies bedeutet, dass sich der Graph der Funktion an der Diskontinuität teilt und von negativ unendlich zu positiv unendlich springt. Wenn Sie mit einer komplexeren Funktion arbeiten, die mehr als eine mögliche Lösung hat, müssen Sie die Grenzen jeder möglichen Lösung berücksichtigen. Schreiben Sie schließlich die Gleichungen der vertikalen Asymptoten der Funktion, indem Sie x gleich jedem der in den Grenzen verwendeten Werte setzen. Für dieses Beispiel gibt es nur eine Asymptote: Gegeben durch die Gleichung ist die vertikale Asymptote gleich x = -2.

Während sich die Regeln für horizontale Asymptoten geringfügig von denen für vertikale Asymptoten unterscheiden können, ist das Auffinden horizontaler Asymptoten genauso einfach wie das Auffinden vertikaler. Beginnen Sie damit, Ihre Funktion aufzuschreiben. Horizontale Asymptoten können in einer Vielzahl von Funktionen gefunden werden, aber sie werden höchstwahrscheinlich wieder in rationalen Funktionen gefunden werden. Für dieses Beispiel lautet die Funktion y = x/(x-1). Nehmen Sie den Grenzwert der Funktion, wenn x gegen Unendlich geht. In diesem Beispiel kann die "1" ignoriert werden, da sie unbedeutend wird, wenn x gegen unendlich geht (weil unendlich minus 1 immer noch unendlich ist). Die Funktion wird also x/x, was gleich 1 ist. Daher ist der Grenzwert, wenn x sich der Unendlichkeit von x/(x-1) nähert, gleich 1.

Verwenden Sie die Lösung des Grenzwerts, um Ihre Asymptotengleichung zu schreiben. Wenn die Lösung ein fester Wert ist, gibt es eine horizontale Asymptote, aber wenn die Lösung unendlich ist, gibt es keine horizontale Asymptote. Wenn die Lösung eine andere Funktion ist, gibt es eine Asymptote, aber sie ist weder horizontal noch vertikal. In diesem Beispiel ist die horizontale Asymptote y = 1.

Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie Probleme mit trigonometrischen Funktionen mit Asymptoten haben: Asymptoten für diese Funktionen zu finden ist wie einfach, indem Sie die gleichen Schritte ausführen, die Sie zum Bestimmen der horizontalen und vertikalen Asymptoten rationaler Funktionen verwenden, indem Sie die verschiedenen Grenzen. Bei diesem Versuch ist es jedoch wichtig zu wissen, dass trigonometrische Funktionen zyklisch sind und daher viele Asymptoten aufweisen können.