Wenn Sie trigonometrische Funktionen grafisch darstellen, stellen Sie fest, dass sie periodisch sind; das heißt, sie erzeugen Ergebnisse, die sich vorhersagbar wiederholen. Um die Periode einer bestimmten Funktion zu finden, müssen Sie mit jeder Funktion vertraut sein und wissen, wie sich Variationen in ihrer Verwendung auf die Periode auswirken. Sobald Sie erkannt haben, wie sie funktionieren, können Sie Triggerfunktionen auseinandernehmen und die Periode problemlos finden.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Die Periode der Sinus- und Kosinusfunktionen beträgt 2π (pi) Radiant oder 360 Grad. Für die Tangensfunktion beträgt die Periode π Radiant oder 180 Grad.
Definiert: Funktionsperiode
Wenn Sie sie in einem Diagramm darstellen, erzeugen die trigonometrischen Funktionen sich regelmäßig wiederholende Wellenformen. Wie jede Welle weisen die Formen erkennbare Merkmale wie Spitzen (Hochpunkte) und Täler (Tiefpunkte) auf. Die Periode gibt Ihnen den Winkel-„Abstand“ eines vollen Zyklus der Welle an, der normalerweise zwischen zwei benachbarten Gipfeln oder Tälern gemessen wird. Aus diesem Grund misst man in der Mathematik die Periode einer Funktion in Winkeleinheiten. Beispielsweise erzeugt die Sinusfunktion ausgehend von einem Winkel von Null eine glatte Kurve, die bei π / 2 Radiant (90 Grad) auf maximal 1 ansteigt, kreuzt Null bei π Radiant (180 Grad), sinkt auf ein Minimum von −1 bei 3π / 2 Radiant (270 Grad) und erreicht Null wieder bei 2π Radiant (360 Grad). Nach diesem Punkt wiederholt sich der Zyklus auf unbestimmte Zeit und erzeugt die gleichen Merkmale und Werte, wenn der Winkel positiv wird increases
Sinus und Cosinus
Die Sinus- und Kosinusfunktionen haben beide eine Periode von 2π Radiant. Die Kosinusfunktion ist dem Sinus sehr ähnlich, außer dass sie dem Sinus um π / 2 Radiant „voreilt“. Die Sinusfunktion nimmt bei null Grad den Wert Null an, während der Kosinus an derselben Stelle 1 ist.
Die Tangentenfunktion
Sie erhalten die Tangensfunktion, indem Sie Sinus durch Cosinus dividieren. Seine Periode beträgt π Radiant oder 180 Grad. Der Tangentengraph (x) ist Null bei Winkel Null, krümmt sich nach oben, erreicht 1 bei π / 4 Radiant (45 Grad), dann krümmt es sich wieder nach oben, wo es bei π / 2 Radiant einen durch Null dividierten Punkt erreicht. Die Funktion wird dann negativ unendlich und zeichnet ein Spiegelbild unter dem ja Achse, erreicht −1 bei 3π / 4 Radiant und kreuzt die ja Achse bei π Radiant. Obwohl es hat x Werte, bei denen sie undefiniert wird, hat die Tangentenfunktion noch eine definierbare Periode.
Sekant, Kosekans und Kotangens
Die drei anderen trigonometrischen Funktionen Kosekans, Sekanten und Kotangens sind die Kehrwerte von Sinus, Kosinus bzw. Tangens. Mit anderen Worten, Kosekans (x) ist 1 / Sünde(x), Sekante(x) = 1 / cos(x) und Kinderbett (x) = 1 / hellbraun(x). Obwohl ihre Graphen undefinierte Punkte haben, sind die Perioden für jede dieser Funktionen die gleichen wie für Sinus, Cosinus und Tangens.
Periodenmultiplikator und andere Faktoren
Durch Multiplikation der x in einer trigonometrischen Funktion um eine Konstante können Sie deren Periode verkürzen oder verlängern. Für die Funktion sin (2_x_) beträgt die Periode beispielsweise die Hälfte ihres Normalwertes, da das Argument x wird verdoppelt. Es erreicht sein erstes Maximum bei π / 4 Radiant statt π / 2 und schließt einen vollen Zyklus in π Radiant ab. Andere Faktoren, die Sie häufig bei trigonometrischen Funktionen sehen, sind Änderungen der Phase und Amplitude, wobei die Phase eine Änderung zu describes beschreibt der Startpunkt im Diagramm, und die Amplitude ist der maximale oder minimale Wert der Funktion, wobei das negative Vorzeichen des Minimums ignoriert wird. Der Ausdruck 4 × sin (2_x_ + π) zum Beispiel erreicht aufgrund des 4-Multiplikators maximal 4 und beginnt mit einer Krümmung nach unten statt nach oben wegen der zur Periode hinzugefügten π-Konstante. Beachten Sie, dass weder die Konstante 4 noch die Konstante π die Periode der Funktion beeinflussen, sondern nur ihren Anfangspunkt und die maximalen und minimalen Werte.