Die Grundlagen der Quadratwurzeln (Beispiele & Antworten)

Quadratwurzeln werden oft in mathematischen und naturwissenschaftlichen Problemen gefunden, und jeder Schüler muss die Grundlagen der Quadratwurzeln erlernen, um diese Fragen anzugehen. Quadratwurzeln fragen: „Welche Zahl ergibt, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, das folgende Ergebnis“, und als solche müssen Sie bei ihrer Berechnung etwas anders über Zahlen nachdenken. Sie können jedoch die Regeln der Quadratwurzel leicht verstehen und alle damit verbundenen Fragen beantworten, egal ob es sich um eine direkte Berechnung oder nur um eine Vereinfachung handelt.

TL; DR (zu lang; nicht gelesen)

Eine Quadratwurzel fragt Sie, welche Zahl, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, das Ergebnis nach dem √-Symbol ergibt. Also √9 = 3 und √16 = 4. Jede Wurzel hat technisch gesehen eine positive und eine negative Antwort, aber in den meisten Fällen ist die positive Antwort diejenige, an der Sie interessiert sind.

Sie können Quadratwurzeln wie gewöhnliche Zahlen faktorisieren, alsoab​ = √​ein​ √​b, oder 6 = √2√3.

Quadratwurzeln sind das Gegenteil von „Quadrieren“ einer Zahl oder Multiplizieren mit sich selbst. Zum Beispiel ist drei zum Quadrat neun (3² = 9), also ist die Quadratwurzel aus neun drei. In Symbolen ist dies

Das Symbol „√“ sagt Ihnen, dass Sie die Quadratwurzel einer Zahl ziehen müssen, und Sie finden dies auf den meisten Taschenrechnern.

Denken Sie daran, dass jede Zahl tatsächlich hatzweiQuadratwurzeln. Drei multipliziert mit drei ergibt neun, aber negative drei multipliziert mit minus drei ergeben auch neun, also

wobei das ± für „plus oder minus“ steht. In vielen Fällen können Sie die negativen Quadratwurzeln von Zahlen ignorieren, aber manchmal ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass jede Zahl zwei Wurzeln hat.

Möglicherweise werden Sie aufgefordert, die „Würfelwurzel“ oder die „vierte Wurzel“ einer Zahl zu nehmen. Die Kubikwurzel ist die Zahl, die, wenn sie zweimal mit sich selbst multipliziert wird, der ursprünglichen Zahl entspricht. Die vierte Wurzel ist die Zahl, die, wenn sie dreimal mit sich selbst multipliziert wird, der ursprünglichen Zahl entspricht. Wie Quadratwurzeln sind diese genau das Gegenteil von der Potenz der Zahlen. Also, 3³ = 27, und das bedeutet, dass die Kubikwurzel von 27 3 ist, oder

Das Symbol „∛“ steht für die Kubikwurzel der darauf folgenden Zahl. Wurzeln werden manchmal auch als gebrochene Potenzen ausgedrückt, also

Eine der schwierigsten Aufgaben, die Sie möglicherweise mit Quadratwurzeln durchführen müssen, ist die Vereinfachung großer Quadratwurzeln, aber Sie müssen nur einige einfache Regeln befolgen, um diese Fragen zu lösen. Sie können Quadratwurzeln genauso faktorisieren wie gewöhnliche Zahlen. Also zum Beispiel 6 = 2 × 3, also

Größere Wurzeln zu vereinfachen bedeutet, die Faktorisierung Schritt für Schritt durchzuführen und sich an die Definition einer Quadratwurzel zu erinnern. 132 ist beispielsweise eine große Wurzel, und es kann schwierig sein, zu erkennen, was zu tun ist. Sie können jedoch leicht erkennen, dass es durch 2 teilbar ist, sodass Sie schreiben können

Allerdings ist 66 auch durch 2 teilbar, man kann also schreiben:

In diesem Fall ergibt eine Quadratwurzel einer Zahl multipliziert mit einer anderen Quadratwurzel nur die ursprüngliche Zahl (wegen der Definition der Quadratwurzel), also

Kurz gesagt, Sie können Quadratwurzeln mit den folgenden Regeln vereinfachen:

Mit den obigen Definitionen und Regeln können Sie die Quadratwurzeln der meisten Zahlen finden. Hier sind einige Beispiele, die Sie berücksichtigen sollten.

Dies kann nicht direkt gefunden werden, da es sich nicht um die Quadratwurzel einer ganzen Zahl handelt. Die Verwendung der Regeln zur Vereinfachung ergibt jedoch:

Dabei wird die einfache Quadratwurzel von 4 verwendet, die 4 = 2 ist. Das Problem lässt sich mit einem Taschenrechner exakt lösen und 8 = 2,8284...

Versuchen Sie mit dem gleichen Ansatz die Quadratwurzel von 12 zu berechnen. Teilen Sie die Wurzel in Faktoren auf, und prüfen Sie dann, ob Sie sie erneut in Faktoren aufteilen können. Versuchen Sie dies als Übungsaufgabe und sehen Sie sich dann die folgende Lösung an:

Auch dieser vereinfachte Ausdruck kann entweder nach Bedarf in Problemen verwendet oder mit einem Taschenrechner genau berechnet werden. Das zeigt ein Taschenrechner

Die Quadratwurzel von 20 kann auf die gleiche Weise ermittelt werden:

Behandeln Sie schließlich die Quadratwurzel von 32 mit dem gleichen Ansatz:

Beachten Sie hier, dass wir die Quadratwurzel von 8 bereits als 2√2 berechnet haben und dass √4 = 2 ist, also:

Obwohl die Definition einer Quadratwurzel bedeutet, dass negative Zahlen keine Quadratwurzel haben sollten (da jede Zahl multipliziert allein eine positive Zahl ergibt), sind Mathematiker auf sie als Teil von Problemen in der Algebra gestoßen und haben a Lösung. Die „imaginäre“ Zahlichwird verwendet, um „die Quadratwurzel von minus 1“ zu bedeuten und alle anderen negativen Wurzeln werden als Vielfache von. ausgedrücktich. So

Diese Probleme sind schwieriger, aber Sie können lernen, sie basierend auf der Definition von. zu lösenichund die Standardregeln für Wurzeln.

Testen Sie Ihr Verständnis von Quadratwurzeln, indem Sie nach Bedarf vereinfachen und dann die folgenden Wurzeln berechnen:

Versuchen Sie, diese zu lösen, bevor Sie sich die folgenden Antworten ansehen: