Wenn Sie schon eine Weile Mathe machen, sind Sie wahrscheinlich auf Exponenten gestoßen. Ein Exponent ist eine Zahl, die Basis genannt wird, gefolgt von einer anderen Zahl, die normalerweise hochgestellt wird. Die zweite Zahl ist der Exponent oder die Potenz. Es sagt Ihnen, wie oft Sie die Basis mit sich selbst multiplizieren müssen. Zum Beispiel 82 bedeutet, 8 zweimal mit sich selbst zu multiplizieren, um 16 zu erhalten, und 103 bedeutet 10 × 10 × 10 = 1.000. Wenn Sie negative Exponenten haben, schreibt die negative Exponentenregel vor, dass Sie die Basis nicht mit der angegebenen Anzahl multiplizieren, sondern die Basis so oft durch 1 teilen. So
8^{ -2} = \frac{1}{8 × 8} = \frac{1}{64} \text{ und } 10^{-3} = \frac{1}{10 × 10 × 10} = \frac{1}{1.000} = 0,001
Es ist möglich, eine verallgemeinerte auszudrücken negativer Exponent Definition schriftlich:
x^{-n} = \frac{1}{x^n}
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Um mit einem negativen Exponenten zu multiplizieren, subtrahieren Sie diesen Exponenten. Um durch einen negativen Exponenten zu dividieren, addieren Sie diesen Exponenten.
Multiplizieren negativer Exponenten
Denken Sie daran, dass Sie Exponenten nur multiplizieren können, wenn sie dieselbe Basis haben. Die allgemeine Regel für die Multiplikation zweier Zahlen, die zu Exponenten erhoben werden, besteht darin, die Exponenten zu addieren. Beispielsweise:
x^5 × x^3 = x^{(5 +3)} = x^8
Um zu sehen, warum dies wahr ist, beachte dasx5 meint (x × x × x × x × x) undx3 meint (x × x × x). Wenn Sie diese Terme multiplizieren, erhalten Sie (x × x × x × x × x × x × x × x) = x8.
Ein negativer Exponent bedeutet, dass die mit dieser Potenz erhobene Basis in 1 geteilt wird. So
x^5 × x^{ -3} = x^5 × \frac{1}{x^3} = (x × x × x × x × x) × \frac{1}{x × x × x}
Dies ist eine einfache Aufteilung. Sie können drei der x stornieren und lassen (x × x) oder x leaving2. Mit anderen Worten, wenn Sie mit einem negativen Exponenten multiplizieren, addieren Sie immer noch den Exponenten, aber da er negativ ist, entspricht dies einer Subtraktion. Im Allgemeinen,
x^n × x^{-m} = x^{(n - m)}
Dividieren von negativen Exponenten
Nach der Definition eines negativen Exponenten:
x^{-n} = \frac{1}{x^n}
Wenn Sie durch einen negativen Exponenten dividieren, entspricht dies der Multiplikation mit demselben Exponenten, nur positiv. Um zu sehen, warum dies wahr ist, bedenken Sie
\frac{1}{x^{-n}} = \frac{1}{1/x^n} = x^n
Zum Beispiel die Zahl
\frac{x^5}{x^{-3}} = x^5 × x^3
Sie addieren die Exponenten, um zu erhaltenx8. Die Regel lautet:
\frac{x^n}{x^{-m}} = x^{(n + m)}
Beispiele
1. Vereinfachen
x^5y^4 × x^{-2}y^2
Sammeln der Exponenten:
x^{(5 - 2)}y^{(4 +2)} = x^3y^6
Exponenten können nur manipuliert werden, wenn sie die gleiche Basis haben, also können Sie nicht weiter vereinfachen.
2. Vereinfachen
\frac{x^3y^{-5}}{x^2 y^{-3 }}
Die Division durch einen negativen Exponenten entspricht der Multiplikation mit demselben positiven Exponenten, daher können Sie diesen Ausdruck umschreiben:
\begin{ausgerichtet} \frac{(x^3y^{-5}) × y^3}{ x^2} &= x^{(3 - 2)}y^{(-5 + 3)} \ \ &= xy^{-2} \\ &=\frac{x}{y^2} \end{ausgerichtet}
3. Vereinfachen
\frac{x^0y^2}{xy^{-3}}
Jede Zahl, die zu einem Exponenten von 0 erhöht wird, ist 1, sodass Sie diesen Ausdruck so umschreiben können, dass er lautet:
x^{-1}y^{(2 + 3)} =\frac{y^5}{x}