Wenn Sie eine Feder – oder ein beliebiges elastisches Material – zusammendrücken oder ausdehnen, wissen Sie instinktiv, was passiert passieren, wenn Sie die Kraft, die Sie aufbringen, nachlassen: Die Feder oder das Material kehren in ihren ursprünglichen Zustand zurück Länge.
Es ist, als ob in der Feder eine „Rückstellkraft“ vorhanden wäre, die dafür sorgt, dass sie in ihren natürlichen, unkomprimierten und nicht gedehnten Zustand zurückkehrt, nachdem Sie die Spannung, die Sie auf das Material ausüben, gelöst haben. Dieses intuitive Verständnis – dass ein elastisches Material nach Wegfall jeglicher aufgebrachter Kraft in seine Gleichgewichtslage zurückkehrt – wird viel genauer quantifiziert durchHookes Gesetz.
Das Hookesche Gesetz ist nach seinem Schöpfer, dem britischen Physiker Robert Hooke, benannt, der 1678 feststellte, dass „die Ausdehnung proportional zur Macht." Das Gesetz beschreibt im Wesentlichen einen linearen Zusammenhang zwischen der Dehnung einer Feder und der von ihr ausgehenden Rückstellkraft im Frühling; mit anderen Worten, es ist doppelt so viel Kraft erforderlich, eine Feder doppelt so stark zu dehnen oder zusammenzudrücken.
Das Gesetz ist zwar bei vielen elastischen Materialien, die als „linear elastische“ oder „hooksche“ Materialien bezeichnet werden, sehr nützlich, gilt jedoch nicht fürjederSituation und ist technisch eine Annäherung.
Wie viele Näherungen in der Physik ist das Hookesche Gesetz jedoch in idealen Federn und vielen elastischen Materialien bis zu ihrer „Proportionalitätsgrenze“ nützlich. DasSchlüsselkonstante der Proportionalität im Gesetz ist die Federkonstante, und zu lernen, was dies sagt, und zu lernen, wie man es berechnet, ist wichtig, um das Hookesche Gesetz in die Praxis umzusetzen.
Die Hookesche Gesetzformel
Die Federkonstante ist ein wichtiger Teil des Hookeschen Gesetzes. Um die Konstante zu verstehen, müssen Sie zuerst wissen, was das Hookesche Gesetz ist und was es sagt. Die gute Nachricht ist, dass es sich um ein einfaches Gesetz handelt, das eine lineare Beziehung beschreibt und die Form einer einfachen linearen Gleichung hat. Die Formel für das Hookesche Gesetz bezieht sich speziell auf die Änderung der Dehnung der Feder,x, zur Rückstellkraft,F, darin generiert:
F = −kx
Der zusätzliche Begriff,k, ist die Federkonstante. Der Wert dieser Konstanten hängt von den Eigenschaften der jeweiligen Feder ab und kann bei Bedarf direkt aus den Federeigenschaften abgeleitet werden. In vielen Fällen – insbesondere im Physik-Einführungsunterricht – erhalten Sie jedoch lediglich einen Wert für die Federkonstante, damit Sie das Problem lösen können. Es ist auch möglich, die Federkonstante mit dem Hookeschen Gesetz direkt zu berechnen, sofern Sie die Ausdehnung und Größe der Kraft kennen.
Einführung der Federkonstante,k
Die „Größe“ des Verhältnisses zwischen Auszug und Rückstellkraft der Feder ist in dem Wert der Federkonstante zusammengefasst,k. Die Federkonstante gibt an, wie viel Kraft benötigt wird, um eine Feder (oder ein Stück elastisches Material) um eine bestimmte Strecke zu komprimieren oder zu dehnen. Wenn Sie darüber nachdenken, was dies in Einheiten bedeutet, oder die Formel des Hookeschen Gesetzes untersuchen, können Sie sehen, dass die Federkonstante Kraft-über-Weg-Einheiten hat, also in SI-Einheiten Newton/Meter.
Der Wert der Federkonstante entspricht den Eigenschaften der jeweiligen betrachteten Feder (oder einer anderen Art von elastischem Objekt). Eine höhere Federkonstante bedeutet eine steifere Feder, die schwerer zu dehnen ist (weil bei einer gegebenen Verschiebungx, die resultierende KraftFhöher), während eine lockerere Feder, die sich leichter dehnen lässt, eine niedrigere Federkonstante hat. Kurz gesagt charakterisiert die Federkonstante die elastischen Eigenschaften der jeweiligen Feder.
Die elastische potentielle Energie ist ein weiteres wichtiges Konzept im Zusammenhang mit dem Hookeschen Gesetz und charakterisiert die Energie im ausgefahrenen oder zusammengedrückten Zustand in der Feder gespeichert, sodass beim Loslassen eine Rückstellkraft ausgeübt werden kann das Ende. Das Zusammendrücken oder Ausdehnen der Feder wandelt die von Ihnen übertragene Energie in elastisches Potenzial um, und wenn Sie loslassen, wird die Energie in kinetische Energie umgewandelt, wenn die Feder in ihre Gleichgewichtsposition zurückkehrt.
Richtung im Hookeschen Gesetz
Sie werden sicherlich das Minuszeichen im Hookeschen Gesetz bemerkt haben. Wie immer ist die Wahl der „positiven“ Richtung immer letztlich willkürlich (Sie können die Achsen so einstellen, dass sie in jede beliebige Richtung laufen wie, und die Physik funktioniert genauso), aber in diesem Fall erinnert das negative Vorzeichen daran, dass die Kraft eine Wiederherstellung ist Macht. „Rückstellkraft“ bedeutet, dass die Kraftwirkung darin besteht, die Feder in ihre Gleichgewichtslage zurückzuführen.
Wenn Sie die Gleichgewichtsposition des Federendes nennen (d. h. seine „natürliche“ Position ohne aufgebrachte Kräfte)x= 0, dann führt das Ausfahren der Feder zu einem positivenx, und die Kraft wirkt in negativer Richtung (d. h. zurück in Richtungx= 0). Andererseits entspricht die Kompression einem negativen Wert fürx, und dann wirkt die Kraft in positiver Richtung, wieder in Richtungx= 0. Unabhängig von der Richtung der Verschiebung der Feder beschreibt das negative Vorzeichen die Kraft, die sie in die entgegengesetzte Richtung zurückbewegt.
Natürlich muss der Frühling nicht in diexRichtung (Sie könnten das Hookesche Gesetz genauso gut schreiben mitjaoderzan seiner Stelle), aber in den meisten Fällen sind rechtliche Probleme in einer Dimension, und dies wird als bezeichnetxzur Bequemlichkeit.
Elastische potentielle Energiegleichung
Das Konzept der elastischen potentiellen Energie, das weiter oben in diesem Artikel neben der Federkonstante eingeführt wurde, ist sehr nützlich, wenn Sie das Rechnen lernen möchtenkandere Daten verwenden. Die Gleichung für die elastische potentielle Energie bezieht sich auf die Verschiebung,x, und die Federkonstante,k, zum elastischen PotentialSPORTel, und es hat die gleiche Grundform wie die Gleichung für die kinetische Energie:
PE_{el}=\frac{1}{2}kx^2
Als Energieform sind die Einheiten der elastischen potentiellen Energie Joule (J).
Die elastische potentielle Energie ist gleich der geleisteten Arbeit (ohne Berücksichtigung von Wärmeverlusten oder anderen Verlusten), und Sie können Berechnen Sie es einfach anhand der Strecke, die die Feder gedehnt wurde, wenn Sie die Federkonstante für die Frühling. Ebenso können Sie diese Gleichung neu anordnen, um die Federkonstante zu ermitteln, wenn Sie die geleistete Arbeit kennen (da (W = SPORTel) beim Spannen der Feder und wie weit die Feder gedehnt wurde.
So berechnen Sie die Federkonstante
Es gibt zwei einfache Ansätze, die Sie verwenden können, um die Federkonstante zu berechnen, indem Sie entweder das Hookesche Gesetz verwenden, zusammen mit einigen Daten über die Stärke der Rückstellkraft (oder aufgebrachten) Verschiebung der Feder aus ihrer Gleichgewichtslage oder unter Verwendung der elastischen potentiellen Energiegleichung neben Zahlenangaben für die beim Ausfahren der Feder geleistete Arbeit und die Verschiebung der Frühling.
Die Verwendung des Hookeschen Gesetzes ist der einfachste Ansatz, um den Wert der Federkonstante zu ermitteln, und Sie können sogar Holen Sie sich die Daten selbst durch einen einfachen Aufbau, bei dem Sie eine bekannte Masse (mit der Kraft ihres Gewichts) aufhängen gegeben vonF = mg) von einer Feder und notieren Sie die Dehnung der Feder. Ohne das Minuszeichen im Hookeschen Gesetz zu ignorieren (da die Richtung für die Berechnung des Wertes der Federkonstante keine Rolle spielt) und durch die Verschiebung dividieren,x, gibt:
k=\frac{F}{x}
Die Verwendung der Formel für die elastische potentielle Energie ist ein ähnlich einfacher Prozess, eignet sich jedoch nicht so gut für ein einfaches Experiment. Wenn Sie jedoch die elastische potentielle Energie und die Verschiebung kennen, können Sie sie berechnen mit:
k=\frac{2PE_{el}}{x^2}
In jedem Fall erhalten Sie einen Wert mit Einheiten von N/m.
Berechnung der Federkonstante: Grundlegende Beispielaufgaben
Eine mit 6 N beschwerte Feder dehnt sich gegenüber ihrer Gleichgewichtslage um 30 cm aus. Wie groß ist die Federkonstante?kfür den Frühling?
Dieses Problem zu lösen ist einfach, vorausgesetzt, Sie denken über die erhaltenen Informationen nach und wandeln die Verschiebung vor der Berechnung in Meter um. Das 6-N-Gewicht ist eine Zahl in Newton, Sie sollten also sofort wissen, dass es sich um eine Kraft handelt, und die Strecke, die die Feder von ihrer Gleichgewichtsposition zurücklegt, ist die Verschiebung.x. Die Frage sagt dir das alsoF= 6 N undx= 0,3 m, d. h. Sie können die Federkonstante wie folgt berechnen:
\begin{ausgerichtet} k&=\frac{F}{x} \\ &= \frac{6\;\text{N}}{0,3\;\text{m}} \\ &= 20\;\text {N/m} \end{ausgerichtet}
Stellen Sie sich als weiteres Beispiel vor, Sie wüssten, dass 50 J elastische potentielle Energie in einer Feder gehalten werden, die 0,5 m aus ihrer Gleichgewichtsposition zusammengedrückt wurde. Wie groß ist in diesem Fall die Federkonstante? Auch hier besteht der Ansatz darin, die Ihnen vorliegenden Informationen zu identifizieren und die Werte in die Gleichung einzufügen. Hier sieht man dasSPORTel = 50 J undx= 0,5m. Die neu geordnete elastische potentielle Energiegleichung ergibt also:
\begin{ausgerichtet} k&=\frac{2PE_{el}}{x^2} \\ &= \frac{2×50\;\text{J}}{(0.5\;\text{m})^ 2} \\ &=\frac{100\;\text{J}}{0,25 \;\text{m}^2} \\ &= 400\;\text{N/m} \end{ausgerichtet}
Die Frühlingskonstante: Autoaufhängungsproblem
Ein 1800-kg-Auto hat ein Federungssystem, das eine Kompression von 0,1 m nicht überschreiten darf. Welche Federkonstante muss das Fahrwerk haben?
Dieses Problem mag anders erscheinen als in den vorherigen Beispielen, aber letztendlich ist der Prozess der Berechnung der Federkonstante,k, ist genau das gleiche. Der einzige zusätzliche Schritt ist die Übersetzung der Masse des Autos in aGewicht(d. h. die auf die Masse wirkende Schwerkraft) an jedem Rad. Sie wissen, dass die Kraft aufgrund des Gewichts des Autos gegeben ist durchF = mg, woG= 9,81 m/s2, die Erdbeschleunigung, so dass Sie die Hookesche Formel wie folgt anpassen können:
\begin{aligned} k&=\frac{F}{x} \\ &=\frac{mg}{x} \end{aligned}
Auf jedem Rad ruht jedoch nur ein Viertel der Gesamtmasse des Autos, also beträgt die Masse pro Feder 1800 kg / 4 = 450 kg.
Jetzt müssen Sie nur noch die bekannten Werte eingeben und auflösen, um die Stärke der benötigten Federn zu ermitteln. Beachten Sie, dass die maximale Kompression 0,1 m der Wert fürxSie müssen verwenden:
\begin{ausgerichtet} k&= \frac{450 \;\text{kg} × 9,81 \;\text{m/s}^2}{0,1 \;\text{m}} \\ &= 44,145 \;\ Text{N/m} \end{ausgerichtet}
Dies könnte auch als 44,145 kN/m ausgedrückt werden, wobei kN „Kilonewton“ oder „Tausende Newton“ bedeutet.
Die Grenzen des Hookeschen Gesetzes
Es ist wichtig, noch einmal zu betonen, dass das Hookesche Gesetz nicht gilt fürjederSituation, und um sie effektiv zu nutzen, müssen Sie sich an die Grenzen des Gesetzes erinnern. Die Federkonstante,k, ist die Steigung der GeradenPortiondes Graphen vonFvs.x; mit anderen Worten, ausgeübte Kraft vs. Verschiebung aus der Gleichgewichtslage.
Nach der „Proportionalitätsgrenze“ für das fragliche Material ist die Beziehung jedoch nicht mehr geradlinig und das Hookesche Gesetz gilt nicht mehr. Wenn ein Material seine „elastische Grenze“ erreicht, reagiert es nicht wie eine Feder und wird stattdessen dauerhaft verformt.
Schließlich geht das Hookesche Gesetz von einer „idealen Quelle“ aus. Teil dieser Definition ist, dass die Federantwort linear ist, aber auch als masse- und reibungsfrei angenommen wird.
Diese letzten beiden Einschränkungen sind völlig unrealistisch, aber sie helfen Ihnen, Komplikationen zu vermeiden, die durch die auf die Feder selbst einwirkende Schwerkraft und Energieverlust durch Reibung entstehen. Das bedeutet, dass das Hookesche Gesetz immer näherungsweise und nicht genau ist – selbst im Rahmen der Verhältnismäßigkeit – aber die Abweichungen verursachen normalerweise kein Problem, es sei denn, Sie benötigen sehr genaue Antworten.