Die meisten Menschen wissen um Energieeinsparung. Kurz gesagt heißt es, dass Energie gespart wird; es wird nicht erstellt und nicht zerstört, und es ändert sich einfach von einer Form in eine andere.
Wenn Sie also einen Ball ganz still halten, zwei Meter über dem Boden, und ihn dann loslassen, woher kommt dann die Energie, die er gewinnt? Wie kann etwas völlig noch so viel kinetische Energie gewinnen, bevor es den Boden berührt?
Die Antwort ist, dass der ruhende Ball eine Form von gespeicherter Energie besitzt, die. genannt wirdpotentielle Gravitationsenergie, oder kurz GPE. Dies ist eine der wichtigsten Formen gespeicherter Energie, die einem Gymnasiasten in der Physik begegnen wird.
GPE ist eine Form mechanischer Energie, die durch die Höhe des Objekts über der Erdoberfläche (oder auch durch jede andere Quelle eines Gravitationsfeldes) verursacht wird. Jedes Objekt, das sich in einem solchen System nicht am Punkt mit der niedrigsten Energie befindet, hat eine potentielle Gravitationsenergie, und wenn freigegeben (d. h. frei fallen gelassen), beschleunigt es in Richtung des Schwerpunkts des Gravitationsfeldes, bis etwas stoppt es.
Obwohl die Ermittlung der potentiellen Gravitationsenergie eines Objekts ziemlich mathematisch einfach, das Konzept ist außerordentlich nützlich, wenn es um die Berechnung geht andere Mengen. Das Erlernen des Konzepts von GPE macht es zum Beispiel sehr einfach, die kinetische Energie und die Endgeschwindigkeit eines fallenden Objekts zu berechnen.
Definition der potentiellen Gravitationsenergie
GPE hängt von zwei Schlüsselfaktoren ab: der Position des Objekts relativ zu einem Gravitationsfeld und der Masse des Objekts. Der Schwerpunkt des Körpers, der das Gravitationsfeld erzeugt (auf der Erde der Mittelpunkt des Planeten) ist der Punkt mit der niedrigsten Energie im Feld (obwohl in der Praxis die tatsächlicher Körper wird das Fallen vor diesem Punkt stoppen, wie es die Erdoberfläche tut), und je weiter ein Objekt von diesem Punkt entfernt ist, desto mehr gespeicherte Energie hat es aufgrund seiner Position. Die Menge der gespeicherten Energie erhöht sich auch, wenn das Objekt massiver ist.
Sie können die grundlegende Definition der potentiellen Gravitationsenergie verstehen, wenn Sie an ein Buch denken, das auf einem Bücherregal ruht. Das Buch hat aufgrund seiner erhöhten Position gegenüber dem Boden das Potenzial, zu Boden zu fallen, aber eine, die beginnt draußen auf dem Boden kann nicht fallen, weil es schon an der Oberfläche ist: Das Buch im Regal hat GPE, aber das auf dem Boden nicht.
Die Intuition wird Ihnen auch sagen, dass ein doppelt so dickes Buch einen doppelt so großen Schlag macht, wenn es auf dem Boden aufschlägt; Dies liegt daran, dass die Masse des Objekts direkt proportional zur Menge der potentiellen Gravitationsenergie eines Objekts ist.
GPE-Formel
Die Formel für die potentielle Gravitationsenergie (GPE) ist wirklich einfach und bezieht sich auf die Masseich, die Gravitationsbeschleunigung auf der ErdeG) und Höhe über der Erdoberflächehazur gespeicherten Energie aufgrund der Schwerkraft:
GPE=mgh
Wie in der Physik üblich, gibt es viele mögliche verschiedene Symbole für die potentielle Gravitationsenergie, einschließlichUG, SPORTschwer und andere. GPE ist ein Maß für die Energie, daher ist das Ergebnis dieser Berechnung ein Wert in Joule (J).
Die Erdbeschleunigung hat überall auf der Erdoberfläche einen (ungefähr) konstanten Wert und zeigt direkt auf den Massenmittelpunkt des Planeten: g = 9,81 m/s2. Bei diesem konstanten Wert müssen Sie nur die Masse des Objekts und die Höhe des Objekts über der Oberfläche berechnen, um GPE zu berechnen.
Beispiele für GPE-Berechnungen
Was also tun, wenn Sie berechnen müssen, wie viel potentielle Gravitationsenergie ein Objekt hat? Im Wesentlichen können Sie die Höhe des Objekts einfach anhand eines einfachen Referenzpunktes (der Boden funktioniert normalerweise gut) definieren und mit seiner Masse multiplizierenichund die terrestrische GravitationskonstanteGum die GPE zu finden.
Stellen Sie sich zum Beispiel eine 10-kg-Masse vor, die in einer Höhe von 5 Metern über dem Boden an einem Flaschenzugsystem aufgehängt ist. Wie viel potentielle Gravitationsenergie hat es?
Die Verwendung der Gleichung und das Einsetzen der bekannten Werte ergibt:
\begin{aligned} GPE&=mgh \\ &= 10 \;\text{kg} × 9,81 \;\text{m/s}^2 × 5 \;\text{m}\\ &= 490,5 \;\ Text{J} \end{ausgerichtet}
Wenn Sie jedoch beim Lesen dieses Artikels über das Konzept nachgedacht haben, haben Sie möglicherweise eine interessante Frage in Betracht gezogen: Wenn das Gravitationspotential Die Energie eines Objekts auf der Erde ist nur dann wirklich Null, wenn es sich im Zentrum der Masse befindet (d. h. im Erdkern), warum berechnet man sie so, als ob die Oberfläche der Erde istha = 0?
Die Wahrheit ist, dass die Wahl des Nullpunkts für die Höhe willkürlich ist und normalerweise gemacht wird, um das vorliegende Problem zu vereinfachen. Wann immer Sie GPE berechnen, machen Sie sich wirklich mehr Gedanken über die potentielle GravitationsenergieÄnderungenund nicht irgendein absolutes Maß für die gespeicherte Energie.
Im Wesentlichen spielt es keine Rolle, ob Sie sich für eine Tischplatte entscheidenha= 0 statt der Erdoberfläche, weil du immertatsächlichüber Änderungen der potentiellen Energie im Zusammenhang mit Höhenänderungen zu sprechen.
Stellen Sie sich also vor, jemand hebt ein 1,5 kg schweres Physik-Lehrbuch von der Oberfläche eines Schreibtisches und hebt es 50 cm (d. h. 0,5 m) über die Oberfläche. Was ist die potentielle Energieänderung der Gravitation (bezeichnet als ∆GPE) für das Buch, wie es angehoben wird?
Der Trick besteht natürlich darin, die Tabelle mit einer Höhe von. als Referenzpunkt zu bezeichnenha= 0, oder äquivalent, um die Höhenänderung (∆ha) aus der Ausgangsposition. In beiden Fällen erhalten Sie:
\begin{aligned} ∆GPE &= mg∆h \\ &= 1,5 \;\text{kg} × 9,81 \;\text{m/s}^2 × 0,5 \;\text{m}\\ &= 7.36 \;\text{J} \end{ausgerichtet}
Einsetzen des „G“ in GPE
Der genaue Wert für die ErdbeschleunigungGin der GPE-Gleichung hat einen großen Einfluss auf die potentielle Gravitationsenergie eines Objekts, das eine bestimmte Entfernung über einer Quelle eines Gravitationsfeldes erhebt. Auf der Marsoberfläche ist beispielsweise der Wert vonGist etwa dreimal kleiner als auf der Erdoberfläche, also wenn Sie das gleiche Objekt anheben, das gleiche Entfernung von der Marsoberfläche hätte er etwa dreimal weniger gespeicherte Energie als auf Erde.
In ähnlicher Weise können Sie den Wert vonGals 9,81 m/s2 über der Erdoberfläche auf Meereshöhe ist es tatsächlich kleiner, wenn Sie sich weit von der Oberfläche entfernen. Wenn Sie zum Beispiel auf einem Mt. Der Everest, der sich 8.848 m (8,848 km) über der Erdoberfläche erhebt, würde aufgrund seiner Entfernung vom Massenmittelpunkt des Planeten den Wert vonGleicht, also hättest duG= 9,79 m/s2 am Höhepunkt.
Wenn Sie den Berg erfolgreich bestiegen und eine 2-kg-Masse 2 m vom Gipfel des Berges in die Luft gehoben hätten, was würde sich in GPE ändern?
Wie die Berechnung des GPE auf einem anderen Planeten mit einem anderen Wert vonG, geben Sie einfach den Wert für. einGdas zu der Situation passt, und gehen Sie wie oben beschrieben vor:
\begin{aligned} ∆GPE &= mg∆h \\ &= 2 \;\text{kg} × 9,79\;\text{m/s}^2 × 2 \;\text{m}\\ &= 39.16 \;\text{J} \end{ausgerichtet}
Auf Meereshöhe auf der Erde, mitG= 9,81 m/s2, würde das Anheben der gleichen Masse die GPE ändern durch:
\begin{aligned} ∆GPE &= mg∆h \\ &= 2 \;\text{kg} × 9,81\;\text{m/s}^2 × 2 \;\text{m}\\ &= 39.24 \;\text{J} \end{ausgerichtet}
Dies ist kein großer Unterschied, aber es zeigt deutlich, dass die Höhe die Änderung des GPE beeinflusst, wenn Sie dieselbe Hebebewegung ausführen. Und auf der Marsoberfläche, woG= 3,75 m/s2 es wäre:
\begin{aligned} ∆GPE &= mg∆h \\ &= 2 \;\text{kg} × 3,75\;\text{m/s}^2 × 2 \;\text{m}\\ &= 15 \;\text{J} \end{ausgerichtet}
Wie Sie sehen, ist der Wert vonGist sehr wichtig für das Ergebnis, das Sie erhalten. Bei der gleichen Hubbewegung im Weltraum, weit entfernt von jeglichem Einfluss der Schwerkraft, würde sich die potentielle Gravitationsenergie im Wesentlichen nicht ändern.
Finden der kinetischen Energie mit GPE
Die Energieerhaltung kann neben dem Konzept der GPE zur Vereinfachung genutzt werdenvieleBerechnungen in der Physik. Kurz gesagt, unter dem Einfluss einer „konservativen“ Kraft bleibt die Gesamtenergie (einschließlich der kinetischen Energie, der potentiellen Gravitationsenergie und aller anderen Energieformen) erhalten.
Eine konservative Kraft ist eine Kraft, bei der die Menge an Arbeit, die gegen die Kraft geleistet wird, um ein Objekt zwischen zwei Punkten zu bewegen, nicht vom eingeschlagenen Weg abhängt. Die Schwerkraft ist also konservativ, da ein Objekt von einem Referenzpunkt auf eine Höhe gehoben wirdhaändert die potentielle Gravitationsenergie ummgh, aber es macht keinen Unterschied, ob Sie es in einer S-förmigen Bahn oder einer geraden Linie bewegen – es ändert sich immer nur ummgh.
Stellen Sie sich nun eine Situation vor, in der Sie einen 500 g (0,5 kg) schweren Ball aus einer Höhe von 15 Metern fallen lassen. Wie viel kinetische Energie wird der Ball in dem Moment haben, in dem er den Boden berührt, wenn man den Effekt des Luftwiderstands ignoriert und angenommen, dass er sich während des Fallens nicht dreht?
Der Schlüssel zu diesem Problem ist die Tatsache, dass die Gesamtenergie erhalten bleibt, die gesamte kinetische Energie also von der GPE kommt und somit die kinetische EnergieEk bei seinem Höchstwert muss dem GPE bei seinem Höchstwert entsprechen, oderGPE = Ek. So können Sie das Problem einfach lösen:
\begin{aligned} E_k &= GPE \\ &= mgh\\ &= 0,5 \;\text{kg} × 9,81\;\text{m/s}^2 × 15 \;\text{m}\\ &= 73,58 \;\text{J} \end{ausgerichtet}
Ermittlung der Endgeschwindigkeit mit GPE und Energieerhaltung
Die Energieerhaltung vereinfacht auch viele andere Berechnungen mit potentieller Gravitationsenergie. Denken Sie an den Ball aus dem vorherigen Beispiel: Jetzt kennen Sie die gesamte kinetische Energie basierend auf seiner Gravitation potentielle Energie am höchsten Punkt, was ist die Endgeschwindigkeit des Balls in dem Moment, bevor er die Erde trifft? Oberfläche? Sie können dies anhand der Standardgleichung für kinetische Energie berechnen:
E_k=\frac{1}{2}mv^2
Mit dem Wert vonEk bekannt, können Sie die Gleichung neu ordnen und nach der Geschwindigkeit auflösenv:
\begin{ausgerichtet} v&=\sqrt{\frac{2E_k}{m}} \\ &=\sqrt{\frac{2 × 73,575 \;\text{J}}{0,5\;\text{kg}} } \\ &=17.16 \;\text{m/s} \end{ausgerichtet}
Sie können jedoch aus der Energieerhaltung eine Gleichung herleiten, die gilt fürirgendeinfallendes Objekt, indem Sie zuerst bemerken, dass in solchen Situationen -GPE = ∆Ek, und so:
mgh = \frac{1}{2}mv^2
Stornierenichvon beiden Seiten und Neuordnung ergibt:
gh = \frac{1}{2}v^2 \\ \text{Daher} \;v= \sqrt{2gh}
Beachten Sie, dass diese Gleichung zeigt, dass die Masse ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands die Endgeschwindigkeit nicht beeinflusstvWenn Sie also zwei beliebige Objekte aus der gleichen Höhe fallen lassen, treffen sie genau zur gleichen Zeit auf den Boden und fallen mit der gleichen Geschwindigkeit. Sie können das erhaltene Ergebnis auch mit der einfacheren, zweistufigen Methode überprüfen und zeigen, dass diese neue Gleichung tatsächlich das gleiche Ergebnis mit den richtigen Einheiten liefert.
Ableiten außerirdischer Werte vonGVerwenden von GPE
Schließlich gibt Ihnen die vorherige Gleichung auch eine Möglichkeit zur BerechnungGauf anderen Planeten. Stellen Sie sich vor, Sie würden den 0,5 kg schweren Ball aus 10 m Höhe über der Marsoberfläche fallen lassen und eine Endgeschwindigkeit (kurz vor dem Auftreffen auf der Oberfläche) von 8,66 m/s aufzeichnen. Was ist der Wert vonGauf dem Mars?
Ausgehend von einem früheren Stadium der Neuordnung:
gh = \frac{1}{2}v^2
Siehst du das:
\begin{ausgerichtet} g &= \frac{v^2}{2h} \\ &= \frac{(8.66 \;\text{m/s})^2}{2 × 10 \;\text{m }} \\ &= 3,75 \;\text{m/s}^2 \end{ausgerichtet}
Die Energieerhaltung in Kombination mit den Gleichungen für potentielle Gravitationsenergie und kinetische Energie hat energyvieleverwendet, und wenn Sie sich daran gewöhnt haben, die Beziehungen auszunutzen, können Sie eine Vielzahl klassischer physikalischer Probleme mit Leichtigkeit lösen.