Physiker vergleichen die Trägheitsmomente rotierender Objekte, um festzustellen, welche schwerer zu beschleunigen oder zu verlangsamen sind. Dies gilt für reale Situationen wie das Herausfinden, welche Objekte in einem Rennen am schnellsten rollen.
Die Faktoren, die das Trägheitsmoment eines Objekts ändern, sind seine Masse, die Verteilung dieser Masse – bestimmt durch seine Form und seinen Radius – und die Rotationsachse, auf der es sich dreht.
Trägheitsmomente für gewöhnliche Objekte
Dieses Diagramm zeigt die Trägheitsmomentgleichungen für mehrere gängige Formen, die sich um verschiedene Rotationsachsen drehen.
Trägheitsmomente vergleichen
Hier sind einige Beispiele für physikalische Probleme, die die Verwendung von Trägheitsmomenten erfordern, um verschiedene Objekte zu vergleichen.
1. Welche der folgenden Varianten lässt sich am einfachsten mit dem Spinnen beginnen: eine 7-kg-Hohlkugel mit einem Radius von 0,2 m oder eine 10-kg-Vollkugel mit dem gleichen Radius?
Beginnen Sie damit, die Trägheitsmomente für jedes Objekt zu ermitteln. Laut Tabelle ist die Gleichung für a
Hohlkugelist:I = 2/3mr2, und die Gleichung für afeste KugelistI = 2/5mr2.Ersetzen der angegebenen Massen und Radien:
Hohlkugel: I = 2/3(7kg)(0,2m)2 = 0.19 kgm2
Solide Kugel: I = 2/5(10kg)(0,2m)2 = 0.16 kgm2
Das Trägheitsmoment istkleiner für die Vollkugel, so wird es seinam einfachsten zu spinnen.
2. Auf welche Weise ist es am schwierigsten, einen Bleistift zu drehen: um seine Länge, um seinen Mittelpunkt oder über den Kopf? Angenommen, der Bleistift hat eine Länge von 10 cm (0,1 m) und einen Querschnittsradius von 3 mm (0,003 m).
In diesem Fall spielt die Masse des Bleistifts im Vergleich keine Rolle, da sie sich nicht ändert.
Um zu bestimmen, welche Gleichungen gelten, nähern Sie sich der Form eines Bleistifts als Zylinder.
Dann lauten die drei notwendigen Trägheitsmomentgleichungen:
Zylinder über seine Länge(die Achse geht durch das Ganze, von der Spitze bis zum Radiergummi, also der Radius zur Drehachseistsein Querschnittsradius):
I=\frac{1}{2}mr^2=\frac{1}{2}m (0,003)^2=0,0000045m
Zylinder um sein Zentrum(in der Mitte gehalten, also ist der Radius seiner Rotationhalbe Länge):
I=\frac{1}{12}mr^2=\frac{1}{12}m (0,05)^2=0,0002083m
Zylinder um sein Ende(von der Spitze oder dem Radiergummi gehalten, also der Radius zur Drehachseistseine Länge):
I=\frac{1}{3}mr^2=\frac{1}{3}m (0,1)^2=0,003333m
Je höher das Trägheitsmoment eines Objekts ist, desto schwieriger ist es, seine Rotation zu starten (oder zu stoppen).Da jeder Wert mit dem gleichen multipliziert wirdich, desto größer ist der Wert des Bruchs multipliziert mit r2, desto höher ist das Trägheitsmoment. In diesem Fall 0,0033333 > 0,0002083 > 0,0000045, also ist esEs ist schwieriger, einen Bleistift um sein Ende zu drehenals um die anderen beiden Achsen.
3. Welches Objekt erreicht zuerst den Boden einer Rampe, wenn sie alle die gleiche Masse und den gleichen Radius haben und alle gleichzeitig von oben losgelassen werden: ein Reifen, ein Zylinder oder eine feste Kugel? Ignorieren Sie Reibung.
Der Schlüssel zur Lösung dieses Problems liegt in der Anwendung eines Verständnisses vonEnergieerhaltung. Wenn alle Objekte die gleiche Masse haben und auf gleicher Höhe beginnen, müssen sie mit der gleichen Menge an. beginnenpotentielle Gravitationsenergie. Dies ist dasGesamtenergiesie haben zur Verfügung, um in kinetische Energie umzuwandeln und die Rampe hinunterzufahren.
Da die Objekte die Rampe herunterrollen, müssen sie ihre anfängliche potentielle Energie in beides umwandelnrotatorische und lineare kinetische Energien.
Hier ist der Haken: Je mehr Energie aus diesem Gesamtkuchen das Objekt brauchtfang an zu drehen, desto weniger wird es zur Verfügung habenlineare Bewegung. Das bedeutetJe einfacher es ist, ein Objekt ins Rollen zu bringen, desto schneller bewegt es sich linear die Rampe hinunter und gewinnt das Rennen.
Da alle Massen und Radien gleich sind, ergibt ein einfacher Vergleich der Brüche vor jeder Trägheitsmomentengleichung die Antwort:
Vollkugel: ich =2/5Herr2
Um eine Achse einspannen: ich = Herr2
Vollzylinder über seine Länge: ich =1/2Herr2
Vom kleinsten zum größten Trägheitsmoment und damitzuerst bis zuletzt, um den Boden zu erreichen: Kugel, Zylinder, Reifen.