Maxwell-Boltzmann-Verteilung: Funktion, Herleitung & Beispiele

Zu beschreiben, was mit sehr kleinen Teilchen passiert, ist eine Herausforderung in der Physik. Es ist nicht nur schwierig, mit ihrer Größe zu arbeiten, sondern Sie haben es in den meisten alltäglichen Anwendungen nicht mit einem einzigen Partikel zu tun, sondern unzähligen von ihnen alle interagieren miteinander.

Innerhalb eines Festkörpers bewegen sich die Partikel nicht aneinander vorbei, sondern bleiben so ziemlich stecken. Festkörper können sich jedoch bei Temperaturschwankungen ausdehnen und zusammenziehen und in bestimmten Situationen sogar interessante Veränderungen in kristalline Strukturen erfahren.

In Flüssigkeiten können sich Partikel frei aneinander vorbei bewegen. Wissenschaftler neigen jedoch nicht dazu, Flüssigkeiten zu untersuchen, indem sie versuchen, den Überblick zu behalten, was jedes einzelne Molekül tut. Stattdessen betrachten sie größere Eigenschaften des Ganzen, wie Viskosität, Dichte und Druck.

Wie bei Flüssigkeiten können sich auch die Partikel in einem Gas frei aneinander vorbei bewegen. Tatsächlich können Gase aufgrund von Temperatur- und Druckunterschieden dramatische Volumenänderungen erfahren.

Auch hier macht es keinen Sinn, ein Gas zu untersuchen, indem man verfolgt, was jedes einzelne Gasmolekül tut, selbst im thermischen Gleichgewicht. Es wäre nicht machbar, vor allem wenn man bedenkt, dass selbst in einem leeren Trinkglas etwa 10²² Luftmoleküle. Es gibt nicht einmal einen Computer, der leistungsfähig genug ist, um eine Simulation so vieler interagierender Moleküle durchzuführen. Stattdessen verwenden Wissenschaftler makroskopische Eigenschaften wie Druck, Volumen und Temperatur, um Gase zu untersuchen und genaue Vorhersagen zu treffen.

Die am einfachsten zu analysierende Gasart ist ein ideales Gas. Es ist ideal, weil es gewisse Vereinfachungen zulässt, die die Physik viel leichter verständlich machen. Viele Gase bei Standardtemperaturen und -drücken wirken ungefähr wie ideale Gase, was ihre Untersuchung ebenfalls nützlich macht.

In einem idealen Gas wird davon ausgegangen, dass die Gasmoleküle selbst bei vollkommen elastischen Kollisionen kollidieren, sodass Sie sich keine Sorgen über die Energieänderung infolge solcher Kollisionen machen müssen. Es wird auch angenommen, dass die Moleküle sehr weit voneinander entfernt sind, was im Wesentlichen bedeutet Sie müssen sich keine Sorgen machen, dass sie um den Platz kämpfen und können sie als Punkt behandeln Partikel. Ideale Gase sind auch nicht zu heiß und nicht zu kalt, sodass Sie sich keine Sorgen um Effekte wie Ionisation oder Quanteneffekte machen müssen.

Von hier aus können die Gasteilchen wie kleine punktförmige Teilchen behandelt werden, die in ihrem Behälter herumspringen. Aber selbst mit dieser Vereinfachung ist es immer noch nicht möglich, Gase zu verstehen, indem man verfolgt, was jedes einzelne Teilchen tut. Es ermöglicht Wissenschaftlern jedoch, mathematische Modelle zu entwickeln, die die Beziehungen zwischen makroskopischen Größen beschreiben.

Das ideale Gasgesetz bezieht sich auf Druck, Volumen und Temperatur eines idealen Gases. Der DruckPeines Gases ist die Kraft pro Flächeneinheit, die es auf die Wände des Behälters ausübt, in dem es sich befindet. Die SI-Einheit des Drucks ist Pascal (Pa) mit 1Pa = 1N/m². Die LautstärkeVdes Gases ist der Platz, den es in SI-Einheiten von m. einnimmt³. Und die TemperaturTdes Gases ist ein Maß für die durchschnittliche kinetische Energie pro Molekül, gemessen in SI-Einheiten von Kelvin.

Die Gleichung, die das ideale Gasgesetz beschreibt, kann wie folgt geschrieben werden:

WoNeinist die Anzahl der Moleküle oder die Anzahl der Teilchen und die Boltzmann-Konstantek​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/s²K.

Eine äquivalente Formulierung dieses Gesetzes lautet:

Woneinist die Molzahl und die universelle GaskonstanteR= 8,3145 J/molK.

Diese beiden Ausdrücke sind äquivalent. Für welches Sie sich entscheiden, hängt einfach davon ab, ob Sie Ihre Molekülzahl in Mol oder in der Anzahl der Moleküle messen.

• 1 Mol = 6.022×10²³ Moleküle, das ist die Zahl von Avogadro.

Sobald ein Gas als ideal angenähert wurde, können Sie eine zusätzliche Vereinfachung vornehmen. Das heißt, anstatt die genaue Physik jedes Moleküls zu berücksichtigen – was aufgrund seiner schieren Zahl unmöglich wäre – werden sie so behandelt, als ob ihre Bewegungen zufällig wären. Aus diesem Grund können Statistiken angewendet werden, um zu verstehen, was vor sich geht.

Im 19. Jahrhundert entwickelten die Physiker James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann auf Basis der beschriebenen Vereinfachungen die kinetische Gastheorie.

Klassisch kann jedem Molekül in einem Gas eine kinetische Energie der Form zugeschrieben werden:

Allerdings hat nicht jedes Molekül im Gas die gleiche kinetische Energie, weil sie ständig kollidieren. Die genaue Verteilung der kinetischen Energien der Moleküle ergibt sich aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung.

Die Maxwell-Boltzmann-Statistik beschreibt die Verteilung idealer Gasmoleküle über verschiedene Energiezustände. Die Funktion, die diese Verteilung beschreibt, lautet wie folgt:

WoEINist eine Normierungskonstante,Eist Energie,kist die Boltzmann-Konstante undTist die Temperatur.

Weitere Annahmen, die gemacht werden, um diese Funktion zu erhalten, sind, dass es aufgrund ihrer Punkt-Teilchen-Natur keine Begrenzung gibt, wie viele Teilchen einen gegebenen Zustand einnehmen können. Außerdem nimmt die Verteilung der Teilchen unter den Energiezuständen notwendigerweise die wahrscheinlichste Verteilung an (mit größere Anzahl von Partikeln, die Wahrscheinlichkeit, dass das Gas dieser Verteilung nicht nahe kommt, wird immer größer klein). Und schließlich sind alle Energiezustände gleich wahrscheinlich.

Diese Statistik funktioniert, weil es äußerst unwahrscheinlich ist, dass ein bestimmtes Teilchen eine Energie hat, die deutlich über dem Durchschnitt liegt. Wenn dies der Fall wäre, würden viel weniger Möglichkeiten für die Verteilung der restlichen Gesamtenergie übrigbleiben. Es läuft auf ein Zahlenspiel hinaus – da es weit mehr Energiezustände gibt, die kein weit überdurchschnittliches Teilchen aufweisen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in einem solchen Zustand befindet, verschwindend gering.

Jedoch sind Energien, die niedriger als der Durchschnitt sind, wahrscheinlicher, wiederum aufgrund der Art und Weise, wie sich die Wahrscheinlichkeiten abspielen. Da jede Bewegung als zufällig betrachtet wird und es mehr Möglichkeiten gibt, wie ein Teilchen in einen Zustand niedriger Energie gelangen kann, werden diese Zustände bevorzugt.

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung ist die Verteilung der Geschwindigkeiten idealer Gasteilchen. Diese Geschwindigkeitsverteilungsfunktion kann aus der Maxwell-Boltzmann-Statistik abgeleitet und zur Ableitung von Beziehungen zwischen Druck, Volumen und Temperatur verwendet werden.

Die Geschwindigkeitsverteilungvist durch die folgende Formel gegeben:

Woichist die Masse eines Moleküls.

Die zugehörige Verteilungskurve mit der Geschwindigkeitsverteilungsfunktion auf derja-Achse und die molekulare Geschwindigkeit auf derx-Achse, sieht grob aus wie eine asymmetrische Normalkurve mit einem längeren Schwanz rechts. Es hat einen Spitzenwert bei der wahrscheinlichsten Geschwindigkeitv_p, und eine Durchschnittsgeschwindigkeit gegeben durch:

Beachten Sie auch, wie es einen langen, schmalen Schwanz hat. Die Kurve ändert sich bei unterschiedlichen Temperaturen leicht, wobei der lange Schwanz bei höheren Temperaturen "fetter" wird.

Verwenden Sie die Beziehung:

WoE_intist die innere Energie,KE​_{​durchschnittlich​} ist die durchschnittliche kinetische Energie pro Molekül aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Zusammen mit dem idealen Gasgesetz ist es möglich, eine Beziehung zwischen Druck und Volumen in Bezug auf die molekulare Bewegung herzustellen: