Ideales Gasgesetz: Definition, Formel & Beispiele

Eines der grundlegendsten Gesetze der Thermodynamik ist das Gesetz des idealen Gases, das es Wissenschaftlern ermöglicht, das Verhalten von Gasen vorherzusagen, die bestimmte Kriterien erfüllen.

Einfach gesagt ist ein ideales Gas ein theoretisch perfektes Gas, das die Mathematik erleichtert. Aber welche Mathematik? Bedenken Sie, dass ein Gas aus einer unglaublich großen Anzahl von Atomen oder Molekülen besteht, die sich alle frei aneinander vorbei bewegen können.

Ein Gasbehälter ist wie ein Behälter mit Tausenden und Abertausenden winziger Kugeln, die alle herumrempeln und aneinander abprallen. Und sicher, es ist einfach, die Kollision von nur zwei solcher Teilchen zu studieren, aber jedes einzelne von ihnen zu verfolgen, ist praktisch unmöglich. Wenn sich also jedes Gasmolekül wie ein unabhängiges Teilchen verhält, wie können Sie dann die Funktionsweise des Gases als Ganzes verstehen?

Die kinetische Gastheorie bietet einen Rahmen zum Verständnis des Verhaltens von Gas. Wie im vorherigen Abschnitt beschrieben, können Sie ein Gas als Ansammlung einer großen Anzahl extrem kleiner Partikel behandeln, die sich in ständiger schneller Bewegung befinden.

Die kinetische Theorie behandelt diese Bewegung als zufällig, da sie das Ergebnis mehrerer schneller Kollisionen ist, was eine Vorhersage zu schwierig macht. Indem diese Bewegung als zufällig behandelt wird und die statistische Mechanik verwendet wird, kann eine Erklärung für die makroskopischen Eigenschaften eines Gases abgeleitet werden.

Es stellt sich heraus, dass man ein Gas ziemlich gut mit einer Reihe von makroskopischen Variablen beschreiben kann, anstatt jedes Molekül für sich allein zu verfolgen. Diese makroskopischen Variablen umfassen Temperatur, Druck und Volumen.

Wie diese sogenanntenZustandsvariablenzueinander in Beziehung stehen, hängt von den Eigenschaften des Gases ab.

Zustandsvariablen sind Größen, die den Zustand eines komplexen dynamischen Systems, beispielsweise eines Gases, beschreiben. Gase werden oft durch Zustandsgrößen wie Druck, Volumen und Temperatur beschrieben.

Druck wird als Kraft pro Flächeneinheit definiert. Der Druck eines Gases ist die Kraft pro Flächeneinheit, die es auf seinen Behälter ausübt. Diese Kraft ist das Ergebnis aller mikroskopischen Kollisionen, die innerhalb des Gases auftreten. Wenn die Gasmoleküle von den Seiten des Behälters abprallen, üben sie eine Kraft aus. Je größer die durchschnittliche kinetische Energie pro Molekül und je größer die Anzahl der Moleküle in einem gegebenen Raum ist, desto größer ist der Druck. Die SI-Einheiten des Drucks sind Newton pro Meter oder Pascal.

Die Temperatur ist ein Maß für die durchschnittliche kinetische Energie pro Molekül. Wenn man sich alle Gasmoleküle als kleine, herumdrängelnde Punkte vorstellt, dann ist die Temperatur des Gases die durchschnittliche kinetische Energie dieser kleinen Punkte.

Eine höhere Temperatur entspricht einer schnelleren zufälligen Bewegung und eine niedrigere Temperatur entspricht einer langsameren Bewegung. Die SI-Einheit der Temperatur ist Kelvin, wobei der absolute Nullpunkt Kelvin die Temperatur ist, bei der alle Bewegung aufhört. 273,15 K entspricht null Grad Celsius.

Das Volumen des Gases ist ein Maß für den eingenommenen Raum. Es ist einfach die Größe des Behälters, in dem das Gas eingeschlossen ist, gemessen in Kubikmetern.

Diese Zustandsvariablen stammen aus der kinetischen Gastheorie, die es Ihnen ermöglicht, statistische Daten auf die Bewegung von. anzuwenden die Moleküle und leiten diese Größen aus Dingen wie der quadratischen Mittelwertgeschwindigkeit der Moleküle ab und so auf.

Ein ideales Gas ist ein Gas, für das Sie bestimmte vereinfachende Annahmen treffen können, die das Verständnis und die Berechnungen erleichtern.

In einem idealen Gas behandeln Sie die Gasmoleküle als Punktteilchen, die in perfekt elastischen Stößen interagieren. Sie gehen auch davon aus, dass sie alle relativ weit auseinander liegen und dass zwischenmolekulare Kräfte vernachlässigt werden können.

Bei Standardtemperatur und -druck (stp) verhalten sich die meisten realen Gase ideal, und im Allgemeinen sind Gase bei hohen Temperaturen und niedrigen Drücken am idealsten. Sobald die Annahme der „Idealität“ getroffen ist, können Sie sich die Beziehungen zwischen Druck, Volumen und Temperatur ansehen, wie in den folgenden Abschnitten beschrieben. Diese Beziehungen führen schließlich zum idealen Gasgesetz selbst.

Das Boyle-Gesetz besagt, dass bei konstanter Temperatur und Gasmenge der Druck umgekehrt proportional zum Volumen ist. Mathematisch wird dies dargestellt als:

WoPist Druck,Vist Volumen und die Indizes geben Anfangs- und Endwerte an.

Wenn man kurz über die kinetische Theorie und die Definition dieser Zustandsvariablen nachdenkt, macht es Sinn, warum dieses Gesetz gelten soll. Der Druck ist die Kraft pro Flächeneinheit an den Wänden des Behälters. Es hängt von der durchschnittlichen Energie pro Molekül ab, da die Moleküle mit dem Behälter kollidieren und wie dicht diese Moleküle gepackt sind.

Es erscheint vernünftig anzunehmen, dass, wenn das Volumen des Behälters kleiner wird, während die Temperatur bleibt konstant, dann sollte die von den Molekülen ausgeübte Gesamtkraft gleich bleiben, da sie in ihrer Zahl gleich und gleich sind im Energiebereich. Da jedoch Druck eine Kraft pro Flächeneinheit ist und die Oberfläche des Behälters geschrumpft ist, sollte der Druck entsprechend ansteigen.

Vielleicht haben Sie dieses Gesetz sogar in Ihrem täglichen Leben erlebt. Ist Ihnen schon einmal aufgefallen, dass sich ein teilweise aufgeblasener Heliumballon oder eine Tüte Kartoffelchips deutlich ausdehnt/aufbläst, wenn Sie in die Höhe steigen? Dies liegt daran, dass der Luftdruck draußen abgenommen hat, obwohl sich die Temperatur möglicherweise nicht geändert hat, und Daher konnte sich der Ballon oder der Beutel ausdehnen, bis der Druck im Inneren dem Druck entsprach draußen. Dieser niedrigere Druck entsprach einem höheren Volumen.

Charles’ Gesetz besagt, dass das Volumen bei konstantem Druck direkt proportional zur Temperatur ist. Mathematisch ist dies:

WoVist Volumen undTist die Temperatur.

Auch hier ist die kinetische Theorie eine vernünftige Beziehung. Sie besagt im Wesentlichen, dass eine Volumenabnahme einer Temperaturabnahme entsprechen würde, wenn der Druck konstant bleiben soll. Druck ist Kraft pro Flächeneinheit, und eine Verringerung des Volumens verringert die Behälteroberfläche, also in Damit der Druck bei Volumenverringerung gleich bleibt, muss auch die Gesamtkraft force verringern. Dies würde nur passieren, wenn die Moleküle eine geringere kinetische Energie haben, also eine niedrigere Temperatur.

Dieses Gesetz besagt, dass der Druck bei konstantem Volumen direkt proportional zur Temperatur ist. Oder mathematisch:

Da Druck eine Kraft pro Flächeneinheit ist, kann die Kraft bei konstanter Fläche nur dann erhöht werden, wenn sich die Moleküle schneller bewegen und härter mit der Oberfläche des Behälters kollidieren. Die Temperatur steigt also.

Die Kombination der drei vorhergehenden Gesetze ergibt über die folgende Herleitung das ideale Gasgesetz. Bedenken Sie, dass das Gesetz von Boyle der Aussage äquivalent istPV= konstant, Charles’ Gesetz ist äquivalent zu der AussageV/T= konstant und das Gesetz von Guy-Lussac ist äquivalent zu der AussageP/T= konstant. Aus dem Produkt der drei Beziehungen ergibt sich dann:

Oder:

Der Wert der Konstanten hängt nicht überraschend von der Anzahl der Moleküle in der Gasprobe ab. Sie kann entweder als konstant =nRwoneinist die Anzahl der Mole undRist die universelle Gaskonstante (R= 8,3145 J/mol K) oder als Konstante =NkwoNeinist die Anzahl der Moleküle undkist die Boltzmann-Konstante (k = 1.38066 × 10^-23 J/K). Daher wird die endgültige Version des idealen Gasgesetzes ausgedrückt:

Diese Beziehung ist eine Zustandsgleichung.

• Ein Mol Material enthält die Molekülanzahl von Avogadro. Avogadros Zahl = 6,0221367 × 10²³/mol

​Beispiel 1:Ein großer, mit Helium gefüllter Ballon wird verwendet, um wissenschaftliche Geräte in eine größere Höhe zu heben. Auf Meereshöhe beträgt die Temperatur 20 °C und in größerer Höhe -40 °C. Wenn sich das Volumen beim Ansteigen um den Faktor 10 ändert, wie hoch ist dann sein Druck in der Höhe? Angenommen, der Druck auf Meereshöhe beträgt 101.325 Pa.

​Lösung:Das ideale Gasgesetz, leicht umgeschrieben, kann interpretiert werden alsPV/T= konstant, oder:

Auflösen nachP₂, erhalten wir den Ausdruck:

Bevor Sie Zahlen einstecken, konvertieren Sie die Temperaturen in Kelvin, alsoT₁= 273,15 + 20 = 293,15 K,T₂= 273,15 – 40 = 233,15 K. Und obwohl Sie nicht die genaue Lautstärke erhalten haben, wissen Sie, dass das VerhältnisV₁/V₂= 1/10. Das Endergebnis ist also:

​Beispiel 2:Finden Sie die Anzahl der Mole in 1 m³ Gas bei 300 K und unter 5 × 10⁷ Pa Druck.

​Lösung:Neuordnung des idealen Gasgesetzes, das Sie auflösen könnennein, die Anzahl der Mol:

Das Einfügen von Zahlen ergibt dann:

Das Gesetz von Avogadro besagt, dass Gase bei gleichen Volumina, Drücken und Temperaturen notwendigerweise die gleiche Anzahl von Molekülen haben. Dies folgt direkt aus dem idealen Gasgesetz.

Löst man wie in einem der Beispiele das ideale Gasgesetz nach der Anzahl der Moleküle auf, erhält man:

Wenn also alles auf der rechten Seite konstant gehalten wird, gibt es nur einen möglichen Wert fürnein. Beachten Sie, dass dies von besonderem Interesse ist, da es für jede Art von idealem Gas gilt. Sie können zwei verschiedene Gase haben, aber wenn sie das gleiche Volumen, den gleichen Druck und die gleiche Temperatur haben, enthalten sie die gleiche Anzahl von Molekülen.

Natürlich gibt es viele Fälle, in denen sich reale Gase nicht ideal verhalten. Erinnern Sie sich an einige der Annahmen eines idealen Gases. Die Moleküle müssen sich als Punktteilchen annähern können, die praktisch keinen Raum einnehmen, und es dürfen keine intermolekularen Kräfte im Spiel sein.

Nun, wenn ein Gas genug komprimiert wird (hoher Druck), dann kommt die Größe der Moleküle ins Spiel und die Wechselwirkungen zwischen den Molekülen werden bedeutsamer. Auch bei extrem niedrigen Temperaturen kann die Energie der Moleküle nicht hoch genug sein, um eine annähernd gleichmäßige Dichte im gesamten Gas zu bewirken.

Eine Formel namens Van-der-Waals-Gleichung hilft, die Abweichung eines bestimmten Gases vom Ideal zu korrigieren. Diese Gleichung kann ausgedrückt werden als:

Dies ist das ideale Gasgesetz mit einem Korrekturfaktor zuPund ein weiterer Korrekturfaktor zu. hinzugefügtV. Die Konstanteeinist ein Maß für die Anziehungskraft zwischen Molekülen, undbist ein Maß für die Größe der Moleküle. Bei niedrigen Drücken ist die Korrektur im Druckterm wichtiger und bei hohen Drücken ist die Korrektur im Volumenterm wichtiger.