In der Statistik geht es darum, aus Unsicherheit Schlussfolgerungen zu ziehen. Wann immer Sie eine Stichprobe ziehen, können Sie nicht ganz sicher sein, dass Ihre Stichprobe wirklich die Grundgesamtheit widerspiegelt, aus der sie gezogen wurde. Statistiker gehen mit dieser Unsicherheit um, indem sie die Faktoren berücksichtigen, die die Schätzung beeinflussen könnten, ihre Unsicherheit zu quantifizieren und statistische Tests durchzuführen, um Schlussfolgerungen aus diesen unsicheren Daten zu ziehen.
Statistiker verwenden Konfidenzintervalle, um einen Wertebereich anzugeben, der wahrscheinlich den „wahren“ Wert enthält. Bevölkerungsmittelwert auf der Basis einer Stichprobe, und drücken ihre Gewissheit darin durch Konfidenz aus Ebenen. Während das Berechnen von Konfidenzniveaus nicht oft nützlich ist, ist die Berechnung von Konfidenzintervallen für ein bestimmtes Konfidenzniveau eine sehr nützliche Fähigkeit.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für ein gegebenes Konfidenzniveau, indem Sie den Standardfehler mit dem multiplizieren
ZPunktzahl für das von Ihnen gewählte Vertrauensniveau. Ziehen Sie dieses Ergebnis von Ihrem Stichprobenmittelwert ab, um die untere Grenze zu erhalten, und fügen Sie es zum Stichprobenmittelwert hinzu, um die obere Grenze zu ermitteln. (Siehe Ressourcen)Wiederholen Sie den gleichen Vorgang, aber mit demtPunktzahl anstelle derZPunktzahl für kleinere Stichproben (nein < 30).
Ermitteln Sie ein Konfidenzniveau für einen Datensatz, indem Sie die Hälfte der Größe des Konfidenzintervalls nehmen, es mit der Quadratwurzel des Stichprobenumfangs multiplizieren und dann durch die Standardabweichung der Stichprobe dividieren. Sehen Sie sich das Ergebnis anZodertPunkte in einer Tabelle, um das Level zu finden.
Der Unterschied zwischen Vertrauensniveau vs. Vertrauensintervall
Wenn eine Statistik zitiert wird, wird manchmal ein Bereich mit der Abkürzung „CI“ (für „Konfidenzintervall“) oder einfach einem Plus-Minus-Symbol gefolgt von einer Zahl angegeben. Zum Beispiel: „Das Durchschnittsgewicht eines erwachsenen Mannes beträgt 180 Pfund (KI: 178,14 bis 181.86)“ oder „Das Durchschnittsgewicht eines erwachsenen Mannes beträgt 180 ± 1,86 Pfund." Beide geben Ihnen die gleichen Informationen: Basierend auf der verwendeten Stichprobe liegt das Durchschnittsgewicht eines Mannes wahrscheinlich innerhalb eines bestimmten Reichweite. Der Bereich selbst wird als Konfidenzintervall bezeichnet.
Wenn Sie möglichst sicher sein möchten, dass der Bereich den wahren Wert enthält, können Sie den Bereich erweitern. Dies würde Ihr „Konfidenzniveau“ in der Schätzung erhöhen, aber der Bereich würde mehr potenzielle Gewichtungen abdecken. Die meisten Statistiken (einschließlich der oben zitierten) werden als 95-Prozent-Konfidenzintervalle angegeben, was bedeutet, dass der wahre Mittelwert mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 Prozent innerhalb des Bereichs liegt. Sie können je nach Bedarf auch ein Konfidenzniveau von 99 % oder ein Konfidenzniveau von 90 % verwenden.
Berechnen von Konfidenzintervallen oder -niveaus für große Stichproben
Wenn Sie in Statistiken ein Konfidenzniveau verwenden, benötigen Sie es normalerweise, um ein Konfidenzintervall zu berechnen. Dies ist etwas einfacher, wenn Sie eine große Stichprobe haben, zum Beispiel über 30 Personen, da Sie verwenden könnenZPunktzahl für Ihre Schätzung statt kompliziertertpunktet.
Nehmen Sie Ihre Rohdaten und berechnen Sie den Stichprobenmittelwert (einfach die Einzelergebnisse addieren und durch die Anzahl der Ergebnisse dividieren). Berechnen Sie die Standardabweichung, indem Sie den Mittelwert von jedem einzelnen Ergebnis subtrahieren, um die Differenz zu ermitteln und diese Differenz dann quadrieren. Addieren Sie all diese Unterschiede und teilen Sie das Ergebnis durch die Stichprobengröße minus 1. Ziehen Sie die Quadratwurzel dieses Ergebnisses, um die Standardabweichung der Stichprobe zu ermitteln (siehe Ressourcen).
Bestimmen Sie das Konfidenzintervall, indem Sie zuerst den Standardfehler ermitteln:
SE=\frac{s}{\sqrt{n}}
Wosoist Ihre Stichproben-Standardabweichung undneinist Ihre Stichprobengröße. Wenn Sie beispielsweise eine Stichprobe von 1.000 Männern nehmen, um das Durchschnittsgewicht eines Mannes zu ermitteln, und eine Stichprobenstandardabweichung von 30 erhalten, würde dies Folgendes ergeben:
SE=\frac{30}{\sqrt{1000}}=0,95
Um daraus das Konfidenzintervall zu ermitteln, schlagen Sie das Konfidenzniveau nach, für das Sie das Intervall in a. berechnen möchtenZ-Score-Tabelle und multiplizieren diesen Wert mit demZErgebnis. Bei einem Konfidenzniveau von 95 Prozent ist dieZ-Score ist 1,96. Im Beispiel bedeutet dies:
\text{Mittelwert}\pm Z\times SE=180\text{ Pfund }\pm1.96\times 0,95=180\pm1.86\text{ Pfund}
Hier ist ± 1,86 Pfund das 95-Prozent-Konfidenzintervall.
Wenn Sie stattdessen diese Informationen zusammen mit dem Stichprobenumfang und der Standardabweichung haben, können Sie das Konfidenzniveau mithilfe der folgenden Formel berechnen:
Z=0.5\times{ Größe des Konfidenzintervalls }\times\frac{\sqrt{n}}{s}
Die Größe des Konfidenzintervalls beträgt nur das Doppelte des ±-Werts, im obigen Beispiel wissen wir also, dass das 0,5-fache 1,86 ist. Das gibt:
Z=1,86\times\frac{\sqrt{1000}}{30}=1,96
Dies gibt uns einen Wert fürZ, die Sie in a. nachschlagen könnenZ-Score-Tabelle, um das entsprechende Konfidenzniveau zu finden.
Berechnen von Konfidenzintervallen für kleine Stichproben
Für kleine Stichproben gibt es einen ähnlichen Prozess zur Berechnung des Konfidenzintervalls. Ziehen Sie zunächst 1 von Ihrer Stichprobengröße ab, um Ihre „Freiheitsgrade“ zu ermitteln. In Symbolen:
df=n-1
Für eine Probenein= 10, das ergibtdf = 9.
Finden Sie Ihren Alpha-Wert, indem Sie die dezimale Version des Konfidenzniveaus (d. h. Ihr prozentuales Konfidenzniveau dividiert durch 100) von 1 subtrahieren und das Ergebnis durch 2 dividieren, oder in Symbolen:
\alpha=\frac{(1-\text{ Dezimal-Konfidenzniveau})}{2}
Für ein Konfidenzniveau von 95 Prozent (0,95) gilt:
\alpha=\frac{(1-0.95)}{2}=0.025
Suchen Sie Ihren Alpha-Wert und Ihre Freiheitsgrade in a (ein Schwanz)tVerteilungstabelle und notieren Sie das Ergebnis. Alternativ kannst du die Division durch 2 oben weglassen und ein zweischwänziges verwendentWert. In diesem Beispiel ist das Ergebnis 2,262.
Berechnen Sie wie im vorherigen Schritt das Konfidenzintervall, indem Sie diese Zahl mit dem Standardfehler multiplizieren, der auf die gleiche Weise anhand Ihrer Stichprobenstandardabweichung und Stichprobengröße bestimmt wird. Der einzige Unterschied besteht darin, dass anstelle desZPartitur, du verwendest dietErgebnis.