Alle oszillierenden Bewegungen – die Bewegung einer Gitarrensaite, das Schwingen eines Stabes nach dem Anschlagen oder das Aufprallen eines Gewichts auf einer Feder – haben eine Eigenfrequenz. Die Grundsituation für die Berechnung ist eine Masse auf einer Feder, die ein einfacher harmonischer Oszillator ist. Für kompliziertere Fälle können Sie die Effekte der Dämpfung (die Verlangsamung der Schwingungen) hinzufügen oder detaillierte Modelle mit Berücksichtigung von Antriebskräften oder anderen Faktoren erstellen. Die Berechnung der Eigenfrequenz für ein einfaches System ist jedoch einfach.
Die Eigenfrequenz eines einfachen harmonischen Oszillators definiert
Stellen Sie sich eine Feder vor, an deren Ende eine Kugel mit Masse befestigt istich. Bei stehendem Setup ist die Feder teilweise gestreckt und das gesamte Setup befindet sich auf der Gleichgewichtsposition, in der die Spannung der ausgefahrenen Feder der Schwerkraft entspricht, die den Ball zieht nach unten. Wenn Sie den Ball aus dieser Gleichgewichtsposition herausbewegen, wird die Feder entweder gespannt (wenn Sie sie nach unten strecken) oder gibt Schwerkraft die Möglichkeit, den Ball nach unten zu ziehen, ohne dass die Spannung der Feder dem entgegenwirkt (wenn du den Ball drückst nach oben). In beiden Fällen beginnt die Kugel um die Gleichgewichtslage zu schwingen.
Die Eigenfrequenz ist die Frequenz dieser Schwingung, gemessen in Hertz (Hz). Dieser sagt Ihnen, wie viele Schwingungen pro Sekunde auftreten, was von den Eigenschaften der Feder und der Masse der daran befestigten Kugel abhängt. Gezupfte Gitarrensaiten, von einem Gegenstand getroffene Stäbe und viele andere Systeme schwingen mit einer Eigenfrequenz.
Berechnung der Eigenfrequenz
Der folgende Ausdruck definiert die Eigenfrequenz eines einfachen harmonischen Oszillators:
f=\frac{\omega}{2\pi}
Woωist die Kreisfrequenz der Schwingung, gemessen in Radiant/Sekunde. Der folgende Ausdruck definiert die Kreisfrequenz:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}
Das bedeutet also:
f=\frac{\sqrt{k/m}}{2\pi}
Hier,kist die Federkonstante für die betreffende Feder undichist die Masse der Kugel. Die Federkonstante wird in Newton/Meter gemessen. Federn mit höheren Konstanten sind steifer und erfordern mehr Kraft zum Ausdehnen.
Um die Eigenfrequenz mit der obigen Gleichung zu berechnen, ermitteln Sie zunächst die Federkonstante für Ihr spezifisches System. Sie können die Federkonstante für reale Systeme durch Experimentieren ermitteln, aber für die meisten Probleme erhalten Sie einen Wert dafür. Fügen Sie diesen Wert an der Stelle für eink(in diesem Beispielk= 100 N/m) und dividieren durch die Masse des Objekts (zum Beispielich= 1kg). Ziehen Sie dann die Quadratwurzel des Ergebnisses, bevor Sie es durch 2π dividieren. Gehen Sie die Schritte durch:
\begin{ausgerichtet} f&=\frac{\sqrt{k/m}}{2\pi}\\&=\frac{\sqrt{100/1}}{2\pi}\\&=\frac{ 10}{2\pi}\\&=1.6\text{ Hz}\end{ausgerichtet}
In diesem Fall beträgt die Eigenfrequenz 1,6 Hz, was bedeutet, dass das System etwas mehr als eineinhalb Mal pro Sekunde schwingen würde.