Der euklidische Abstand ist der Abstand zwischen zwei Punkten im euklidischen Raum. Der euklidische Raum wurde ursprünglich von dem griechischen Mathematiker Euklid um 300 v. um die Beziehungen zwischen Winkeln und Abständen zu studieren. Dieses Geometriesystem wird auch heute noch verwendet und ist dasjenige, das Gymnasiasten am häufigsten lernen. Die euklidische Geometrie gilt speziell für zwei- und dreidimensionale Räume. Es kann jedoch leicht auf Dimensionen höherer Ordnung verallgemeinert werden.
Berechnen Sie den euklidischen Abstand für eine Dimension. Der Abstand zwischen zwei Punkten in einer Dimension ist einfach der absolute Wert der Differenz zwischen ihren Koordinaten. Mathematisch wird dies gezeigt als |p1 - q1| wobei p1 die erste Koordinate des ersten Punktes und q1 die erste Koordinate des zweiten Punktes ist. Wir verwenden den absoluten Wert dieser Differenz, da die Entfernung normalerweise nur einen nicht negativen Wert hat.
Nehmen Sie zwei Punkte P und Q im zweidimensionalen euklidischen Raum. Wir beschreiben P mit den Koordinaten (p1,p2) und Q mit den Koordinaten (q1,q2). Konstruieren Sie nun ein Liniensegment mit den Endpunkten von P und Q. Dieses Liniensegment bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Wenn wir die in Schritt 1 erhaltenen Ergebnisse erweitern, stellen wir fest, dass die Längen der Schenkel dieses Dreiecks durch |p1 - q1|. gegeben sind und |p2 – q2|. Der Abstand zwischen den beiden Punkten wird dann als Länge der Hypotenuse angegeben.
Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Länge der Hypotenuse in Schritt 2 zu bestimmen. Dieser Satz besagt, dass c^2 = a^2 + b^2 wobei c die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und a, b die Länge der anderen beiden Schenkel sind. Dies ergibt c = (a^2 + b^2)^(1/2) = ((p1 - q1)^2 + (p2 - q2)^2)^(1/2). Der Abstand zwischen 2 Punkten P = (p1,p2) und Q = (q1,q2) im zweidimensionalen Raum beträgt daher ((p1 - q1)^2 + (p2 - q2)^2)^(1/2).
Erweitern Sie die Ergebnisse von Schritt 3 auf den dreidimensionalen Raum. Der Abstand zwischen den Punkten P = (p1, p2, p3) und Q = (q1,q2,q3) kann dann gegeben werden als ((p1-q1)^2 + (p2-q2)^2 + (p3-q3) ^2)^(1/2).
Verallgemeinern Sie die Lösung in Schritt 4 für den Abstand zwischen zwei Punkten P = (p1, p2,..., pn) und Q = (q1,q2,..., qn) in n Dimensionen. Diese allgemeine Lösung kann als ((p1-q1)^2 + (p2-q2)^2 +... + (pn-qn)^2)^(1/2).