Pendel haben interessante Eigenschaften, mit denen Physiker andere Objekte beschreiben. Zum Beispiel folgt die Planetenbahn einem ähnlichen Muster und das Schwingen auf einer Schaukel kann sich wie auf einem Pendel anfühlen. Diese Eigenschaften ergeben sich aus einer Reihe von Gesetzen, die die Bewegung des Pendels regeln. Durch das Erlernen dieser Gesetze können Sie beginnen, einige der grundlegenden Lehren der Physik und der Bewegung im Allgemeinen zu verstehen.
Die Bewegung eines Pendels kann beschrieben werden mit
\theta(t)=\theta_{max}\cos{\frac{2\pi t}{T}}
in welchemθstellt den Winkel zwischen der Saite und der vertikalen Linie in der Mitte dar,trepräsentiert die Zeit, undTist die Periode, die Zeit, die für einen vollständigen Zyklus der Pendelbewegung erforderlich ist (gemessen an1/f), der Pendelbewegung.
Einfache harmonische Bewegung
Einfache harmonische Bewegung, oder Bewegung, die beschreibt, wie die Geschwindigkeit eines Objekts proportional zum Betrag der Verschiebung aus dem Gleichgewicht schwingt, kann verwendet werden, um die Gleichung eines Pendels zu beschreiben. Die Schwingung eines Pendels wird durch diese Kraft, die auf es einwirkt, in Bewegung gehalten, wenn es sich hin und her bewegt.
•••Syed Hussain Ather
Die Gesetze, die die Pendelbewegung regeln, führten zur Entdeckung einer wichtigen Eigenschaft. Physiker unterteilen Kräfte in eine vertikale und eine horizontale Komponente. In Pendelbewegung,drei Kräfte wirken direkt auf das Pendel: die Masse des Bob, die Schwerkraft und die Spannung in der Saite. Masse und Schwerkraft wirken beide vertikal nach unten. Da sich das Pendel nicht nach oben oder unten bewegt, hebt die vertikale Komponente der Saitenspannung die Masse und Schwerkraft auf.
Dies zeigt, dass die Masse eines Pendels keine Bedeutung für seine Bewegung hat, wohl aber die horizontale Saitenspannung. Einfache harmonische Bewegung ist der Kreisbewegung ähnlich. Sie können ein Objekt beschreiben, das sich auf einer Kreisbahn bewegt, wie in der Abbildung oben gezeigt, indem Sie den Winkel und den Radius bestimmen, das es in seiner entsprechenden Kreisbahn einnimmt. Dann können Sie mithilfe der Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks zwischen dem Kreismittelpunkt, der Position des Objekts und der Verschiebung in beide Richtungen x und y Gleichungen findenx = Harz (θ)undy = rcos (θ).
Die eindimensionale Gleichung eines Objekts in einfacher harmonischer Bewegung ist gegeben durchx = rcos(ωt).Sie können weiter ersetzenEINzumrin welchemEINist derAmplitude, die maximale Verschiebung von der Anfangsposition des Objekts.
Die Winkelgeschwindigkeitωin Bezug auf die Zeittfür diese Winkelθwird gegeben vonθ = ωt. Wenn Sie die Gleichung ersetzen, die die Winkelgeschwindigkeit mit der Frequenz in Beziehung setztf, ω = 2f, können Sie sich diese Kreisbewegung als Teil eines hin und her schwingenden Pendels vorstellen, dann lautet die resultierende einfache harmonische Bewegungsgleichung
x=A\cos{2\pi ft}
Gesetze eines einfachen Pendels
•••Syed Hussain Ather
Pendel, wie Massen an einer Feder, sind Beispiele füreinfache harmonische Oszillatoren: Es gibt eine Rückstellkraft, die je nach Auslenkung des Pendels zunimmt und deren Bewegung mit den. beschrieben werden kanneinfache harmonische Oszillatorgleichung
\theta(t)=\theta_{max}\cos{\frac{2\pi t}{T}}
in welchemθstellt den Winkel zwischen der Saite und der vertikalen Linie in der Mitte dar,tsteht für Zeit undTist derZeitraum, die Zeit, die für einen vollständigen Zyklus der Pendelbewegung erforderlich ist (gemessen an1/f), der Pendelbewegung.
θmaxist eine andere Möglichkeit, das Maximum der Schwingung des Winkels während der Pendelbewegung zu definieren, und ist eine andere Möglichkeit, die Amplitude des Pendels zu definieren. Dieser Schritt wird weiter unten im Abschnitt "Einfache Pendeldefinition" erläutert.
Eine weitere Folgerung aus den Gesetzen eines einfachen Pendels ist, dass die Schwingungsdauer mit konstanter Länge unabhängig von Größe, Form, Masse und Material des Objekts am Ende der Schnur ist. Dies wird durch die einfache Pendelableitung und die sich daraus ergebenden Gleichungen deutlich gezeigt.
Einfache Pendelableitung
Sie können die Gleichung für a. bestimmeneinfaches Pendel, die Definition, die von einem einfachen harmonischen Oszillator abhängt, aus einer Reihe von Schritten, die mit der Bewegungsgleichung für ein Pendel beginnen. Da die Schwerkraft eines Pendels gleich der Kraft der Pendelbewegung ist, können Sie sie mit dem zweiten Newtonschen Gesetz mit einer Pendelmasse gleichsetzenM, String-LängeL, Winkelθ,SchwerkraftbeschleunigungGund Zeitintervallt.
•••Syed Hussain Ather
Sie setzen das zweite Newtonsche Gesetz gleich dem TrägheitsmomentIch = Herr2für etwas Masseichund Radius der Kreisbewegung (hier Länge der Saite)rmal die Winkelbeschleunigungα.
- ΣF = Ma: Newtons zweites Gesetz besagt, dass die NettokraftFauf einem Objekt ist gleich der Masse des Objekts multipliziert mit der Beschleunigung.
- Ma = ich α: Hier können Sie die Kraft der Erdbeschleunigung (-Mg Sünde (θ)L)gleich der Kraft der Rotation
- -Mg sin (θ)L = ich α: Sie können die Richtung für die vertikale Kraft aufgrund der Schwerkraft ermitteln (-Mg) durch Berechnung der Beschleunigung alsSünde (θ)Lwennsin (θ) = d/Lfür eine gewisse horizontale Verschiebungdund Winkelθ Richtung zu erklären.
- -Mg sin (θ)L = ML2 α: Sie ersetzen die Gleichung für das Trägheitsmoment eines rotierenden Körpers mit der Saitenlänge L als Radius.
- -Mg sin (θ)L = -ML2d2/dt: Berücksichtigen Sie die Winkelbeschleunigung durch Einsetzen der zweiten Ableitung des Winkels nach der Zeit fürα.Dieser Schritt erfordert Kalkül und Differentialgleichungen.
- d2/dt2 + (g/L)sinθ = 0: Sie können dies erhalten, indem Sie beide Seiten der Gleichung neu anordnen
- d2/dt2 + (g/l)θ = 0: Sie können annähernSünde (θ)wieθim Sinne eines einfachen Pendels bei sehr kleinen Schwingungswinkeln
- θ(t) = θmaxcos (t (l/g)2): Die Bewegungsgleichung hat diese Lösung. Sie können dies überprüfen, indem Sie die zweite Ableitung dieser Gleichung nehmen und daran arbeiten, Schritt 7 zu erhalten.
Es gibt andere Möglichkeiten, eine einfache Pendelableitung vorzunehmen. Verstehen Sie die Bedeutung hinter jedem Schritt, um zu sehen, wie sie zusammenhängen. Mit diesen Theorien können Sie eine einfache Pendelbewegung beschreiben, aber Sie sollten auch andere Faktoren berücksichtigen, die die einfache Pendeltheorie beeinflussen können.
Faktoren, die die Pendelbewegung beeinflussen
Vergleicht man das Ergebnis dieser Ableitung
\theta(t)=\theta_{max}\cos{t\bigg(\frac{L}{g}\bigg)^2}
zur Gleichung eines einfachen harmonischen Oszillatorsby gleichsetzen, können Sie eine Gleichung für die Periode T herleiten:
T=2\pi\sqrt{\frac{g}{L}}
Beachten Sie, dass diese Gleichung nicht von der Masse abhängtMdes Pendels, die Amplitudeθmax, noch auf die zeitt. Das heißt, die Periode ist unabhängig von Masse, Amplitude und Zeit, sondern hängt von der Länge der Saite ab. Es gibt Ihnen eine prägnante Möglichkeit, Pendelbewegungen auszudrücken.
Pendellänge Beispiel
Mit der Gleichung für eine Periode können Sie die Gleichung neu anordnen, um zu erhalten
L=\frac{(T/2\pi)^2}{g}
und ersetzen Sie 1 Sek. fürTund9,8 m/s2zumGerhaltenL =0,0025 m. Denken Sie daran, dass diese Gleichungen der einfachen Pendeltheorie davon ausgehen, dass die Länge der Saite reibungslos und masselos ist. Um diese Faktoren zu berücksichtigen, wären kompliziertere Gleichungen erforderlich.
Einfache Pendeldefinition
Sie können den Pendelrückwinkel ziehenθes hin und her schwingen zu lassen, um es wie eine Feder schwingen zu sehen. Für ein einfaches Pendel können Sie es mit Bewegungsgleichungen eines einfachen harmonischen Oszillators beschreiben. Die Bewegungsgleichung funktioniert gut für kleinere Werte von Winkel undAmplitude, der maximale Winkel, da das einfache Pendelmodell auf der Näherung beruht, dassSünde (θ) ≈ θfür einen Pendelwinkelθ.Da die Werte Winkel und Amplituden größer als etwa 20 Grad werden, funktioniert diese Näherung nicht so gut.
Probieren Sie es selbst aus. Pendelschwingung mit großem Anfangswinkelθschwingt nicht so regelmäßig, damit Sie ihn mit einem einfachen harmonischen Oszillator beschreiben können. Bei kleinerem Anfangswinkelθ, nähert sich das Pendel viel leichter einer regelmäßigen, oszillierenden Bewegung. Da die Masse eines Pendels keinen Einfluss auf seine Bewegung hat, haben Physiker bewiesen, dass alle Pendel die gleiche Schwingungsperiode haben Winkel – der Winkel zwischen dem Mittelpunkt des Pendels an seinem höchsten Punkt und dem Mittelpunkt des Pendels an seiner gestoppten Position – weniger als 20 Grad.
Für alle praktischen Zwecke eines sich bewegenden Pendels wird das Pendel schließlich verlangsamt und aufgrund der Reibung zwischen der Saite und ihrem Befestigungspunkt oben sowie durch den Luftwiderstand zwischen Pendel und Luft um es herum.
Bei praktischen Beispielen der Pendelbewegung würden die Periode und Geschwindigkeit von der Art des verwendeten Materials abhängen, das diese Beispiele von Reibung und Luftwiderstand verursachen würde. Wenn Sie Berechnungen zum theoretischen Pendelschwingungsverhalten durchführen, ohne diese Kräfte zu berücksichtigen, wird ein unendlich schwingendes Pendel berücksichtigt.
Newtonsche Gesetze in Pendeln
Das erste Newtonsche Gesetz definiert die Geschwindigkeit von Objekten als Reaktion auf Kräfte. Das Gesetz besagt, dass, wenn sich ein Objekt mit einer bestimmten Geschwindigkeit und in einer geraden Linie bewegt, es sich mit dieser Geschwindigkeit und in einer geraden Linie unendlich fortbewegt, solange keine andere Kraft auf es einwirkt. Stellen Sie sich vor, Sie würden einen Ball geradeaus werfen – der Ball würde immer wieder um die Erde fliegen, wenn Luftwiderstand und Schwerkraft nicht auf ihn einwirkten. Dieses Gesetz zeigt, dass, da sich ein Pendel seitwärts und nicht auf und ab bewegt, keine Auf- und Ab-Kräfte auf es wirken.
Newtons zweites Gesetz wird verwendet, um die Nettokraft auf das Pendel zu bestimmen, indem die Gravitationskraft gleich der Kraft der Schnur gesetzt wird, die das Pendel wieder nach oben zieht. Durch das Angleichen dieser Gleichungen können Sie die Bewegungsgleichungen für das Pendel ableiten.
Newtons drittes Gesetz besagt, dass jede Aktion eine gleich starke Reaktion hat. Dieses Gesetz funktioniert mit dem ersten Gesetz, das zeigt, dass, obwohl Masse und Schwerkraft die vertikale Komponente des Saitenspannungsvektors aufheben, nichts die horizontale Komponente aufhebt. Dieses Gesetz zeigt, dass sich die auf ein Pendel wirkenden Kräfte gegenseitig aufheben können.
Physiker verwenden Newtons erstes, zweites und drittes Gesetz, um zu beweisen, dass die horizontale Saitenspannung das Pendel ohne Rücksicht auf Masse oder Schwerkraft bewegt. Die Gesetze eines einfachen Pendels folgen den Ideen der drei Newtonschen Bewegungsgesetze.