Lad os antage et par parametre, før vi diskuterer tyngdepunktet. Den ene, at du har at gøre med et objekt, der er på jordens overflade, ikke ude i rummet et eller andet sted. Og to, at genstanden er rimelig lille - sig, ikke et rumskib, der er parkeret på jorden og venter på at tage afsted. Når alle disse udenjordiske påvirkninger er elimineret, er du i fin position til at beregne tyngdepunktet for geometriske objekter ved hjælp af en relativt enkel formel - og faktisk, på grund af disse betingelser, der lige er indstillet, bruger du den samme formel til at finde tyngdepunktet som at finde centrum for masse.
Hvordan man skriver om tyngdepunktet
Tyngdepunktet i et todimensionalt plan betegnes normalt med koordinaterne (xcg, ycg) eller nogle gange af variablernexogymed en bar over dem. Udtrykket "tyngdepunkt" er også undertiden forkortet til cg.
Sådan beregnes CG af en trekant
Din matematik- eller fysikbog indeholder ofte diagrammer til at bestemme balancecentret for visse tal. Men for nogle almindelige geometriske former kan du bruge den passende form for tyngdepunkt til at finde formens tyngdepunkt.
For trekanter sidder tyngdepunktet på det punkt, hvor alle tre medianer krydser hinanden. Hvis du starter ved et toppunkt i trekanten og derefter tegner en lige linje til midtpunktet på den anden side, er det en median. Gør det samme for de to andre hjørner, og det punkt, hvor alle tre medianer krydser hinanden, er trekants tyngdepunkt.
Og selvfølgelig er der en formel for det. Hvis koordinaterne for trekants tyngdepunkt er (xcg, ycg), finder du dets koordinater således:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ tekst {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
Hvor (x1, y1), (x2, y2) og (x3, y3) er koordinaterne for trekantens tre hjørner. Du kan vælge, hvilket toppunkt der tildeles hvilket nummer.
Center for tyngdekraftsformel for et rektangel
Har du bemærket, at for at finde tyngdepunktet for en trekant, skal du bare beregne værdien af x-koordinaterne, gennemsnit derefter værdien af y-koordinaterne, og brug de to resultater som koordinaterne for dit tyngdepunkt?
For at finde tyngdepunktet for et rektangel gør du nøjagtigt det samme. Men for at gøre dine beregninger endnu lettere, antag at rektanglet er orienteret helt i retning af en kartesisk koordinatplan (så det ikke er indstillet i en vinkel), og at dets nederste venstre toppunkt er ved oprindelsen af kurve. I så fald at finde (xcg, ycg) for et rektangel er alt hvad du skal beregne:
x_ {cg} = \ frac {\ text {width}} {2} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {height}} {2}
Hvis du ikke ønsker at flytte dit rektangel til koordinatplanets oprindelse, eller hvis det af en eller anden grund ikke ligefrem er firkantet til koordinatakser, kan du stå over for denne lidt skræmmende udseende, men stadig effektive formel til gennemsnit af alle dens x-koordinater for at finde værdien af xcgog gennemsnit alle y-koordinaterne for at finde værdien af ycg:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ tekst {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
Center for tyngdekraftsligning
Hvad hvis du har brug for at beregne tyngdepunktet for en form, der passer til alle de ovennævnte antagelser (dybest set prøver du ikke at gøre bogstavelig raketvidenskab ved at finde tyngdepunktet for objekter ude i rummet), men det falder ikke ind under nogen af de kategorier, der lige er nævnt, eller i diagrammerne bag på din lærebog? Derefter kan du opdele din form i mere velkendte former og bruge følgende ligninger til at finde deres kollektive tyngdepunkt:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ tekst {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
Eller for at sige det på en anden måde, xcg svarer til området for sektion 1 gange dets placering på x-aksen, føjet til området for sektion 2 gange dets placering og så videre, indtil du har tilføjet arealet gange placering for alle sektioner; divider derefter hele beløbet med det samlede areal for alle sektioner. Gør derefter det samme for y.
Spørgsmål: Hvordan finder jeg området for hver sektion?Ved at opdele din komplekse eller uregelmæssige form i mere velkendte polygoner kan du bruge standardiserede formler til at finde område. For eksempel, hvis du har delt den form i rektangulære stykker, kan du bruge formel længde × bredde til at finde arealet af hvert stykke.
Spørgsmål: Hvad er "placeringen" for hver sektion?Placeringen af hvert afsnit er den passende koordinat fra sektionens tyngdepunkt. Så hvis du vil have dig2 (placeringen for segment 2), skal du faktisk angive y-koordinaten til segmentets tyngdepunkt. Igen er det derfor, du opdeler et underligt formet objekt i mere velkendte former, fordi du kan bruge formler, der allerede er diskuteret for at finde hver forms tyngdepunkt og derefter udpakke den passende koordinat (s).
Spørgsmål: Hvor går min form på koordinatplanet?Du får vælge, hvor din form sidder på koordinatplanet - bare husk, at dit svars tyngdepunkt vil være i forhold til det samme referencepunkt. Det er nemmest at placere dit objekt i den første kvadrant i din graf med dens nederste kant mod x-aksen og venstre kant mod y-aksen, så alle x- og y-værdier er positive, men også små nok til at være håndterbar.
Tricks til at finde tyngdepunktet
Hvis du har at gøre med et enkelt objekt, er intuition og lidt logik undertiden alt hvad du behøver for at finde tyngdepunktet. For eksempel, hvis du overvejer en flad disk, vil tyngdepunktet være midten af disken. I en cylinder er det midtpunktet på cylinderens akse. For et rektangel (eller firkant) er det det punkt, hvor de diagonale linjer konvergerer.
Du har måske bemærket et mønster her: Hvis det pågældende objekt har en symmetri-linje, vil tyngdepunktet være på den linje. Og hvis den har flere symmetriakser, vil tyngdepunktet være, hvor disse akser krydser hinanden.
Endelig, hvis du prøver at finde tyngdepunktet for et virkelig komplekst objekt, har du to muligheder: Enten pisker du ud dine bedste beregningsintegraler (se Ressourcer til en tredobbelt integral, der repræsenterer tyngdepunktet for en ikke-ensartet masse) eller input dine data i et specialbygget tyngdepunkt lommeregner. (Se Ressourcer for et eksempel på en tyngdepunktsberegner for radiostyrede fly.)