Matematiske funktioner er kraftfulde værktøjer til forretning, teknik og videnskab, fordi de kan fungere som miniaturemodeller af virkelige fænomener. For at forstå funktioner og relationer er du nødt til at grave lidt i begreber som sæt, ordnede par og relationer. En funktion er en særlig slags relation, der kun har enyværdi for en givenxværdi. Der findes andre slags forhold, der ligner funktioner, men som ikke opfylder den strenge definition af en.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
Et forhold er et sæt tal organiseret i par. En funktion er en særlig slags relation, der kun har enyværdi for en givenxværdi.
Sæt, bestilte par og relationer
For at beskrive relationer og funktioner hjælper det med først at diskutere sæt og ordnede par. Kort fortalt er et sæt tal en samling af dem, typisk indeholdt i krøllede seler, såsom {15,1, 2/3} eller {0, .22}. Typisk definerer du et sæt med en regel, såsom alle lige tal mellem 2 og 10 inklusive: {2,4,6,8,10}.
Et sæt kan have et vilkårligt antal elementer eller slet ingen, dvs. nul-sæt {}. Et ordnet par er en gruppe på to tal, der er omgivet af parenteser, såsom (0,1) og (45, −2). For nemheds skyld kan du kalde den første værdi i et bestilt par
xværdi og det andet denyværdi. En relation organiserer ordnede par i et sæt. For eksempel er sættet {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} en relation. Du kan plottexogyværdier for en relation på en graf ved hjælp afxogyakser.Forhold og funktioner
En funktion er en relation, hvor en givenxværdi har kun en tilsvarendeyværdi. Du tror måske det med bestilte par hverxhar kun enyværdi alligevel. Imidlertid bemærk, at eksemplet på en relation, der er givet ovenfor, atxværdierne 1 og 2 har hver to tilsvarendeyværdier, henholdsvis 0 og 5 og 10 og 15. Dette forhold er ikke en funktion. Reglen giver funktionsforholdet en definitivitet, der ellers ikke eksisterer med hensyn tilxværdier. Du kan spørge, hvornårxer 1, hvad eryværdi? For ovenstående forhold har spørgsmålet intet bestemt svar; det kunne være 0, 5 eller begge dele.
Undersøg nu et eksempel på en relation, der er en ægte funktion: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. Detxværdier gentages ikke hvor som helst. Som et andet eksempel, se på {(−1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Nogleyværdier gentages, men dette overtræder ikke reglen. Du kan stadig sige det, når værdien afxer 0,yer bestemt 5.
Graffunktioner: Lodret linjetest
Du kan fortælle, om en relation er en funktion ved at plotte tallene på en graf og anvende den lodrette linjetest. Hvis ingen lodret linje, der passerer gennem grafen, skærer den på mere end et punkt, er forholdet en funktion.
Fungerer som ligninger
At skrive et sæt bestilte par ud som en funktion er et let eksempel, men bliver hurtigt kedeligt, når du har mere end et par tal. For at løse dette problem skriver matematikere funktioner i form af ligninger, såsom
y = x ^ 2 - 2x + 3
Ved hjælp af denne kompakte ligning kan du generere så mange ordnede par, som du vil: Tilslut forskellige værdier forx, gør matematik, og ud kommer dinyværdier.
Virkelige anvendelser af funktioner
Mange funktioner fungerer som matematiske modeller, der gør det muligt for folk at forstå detaljer om fænomener, der ellers ville forblive mystiske. For at tage et simpelt eksempel er afstandsligningen for et faldende objekt
d = \ frac {1} {2} g t ^ 2
hvorter tid i sekunder, ogger accelerationen på grund af tyngdekraften. Sæt 9,8 i for jordens tyngdekraft i meter pr. Kvadrat, og du kan finde den afstand, et objekt tabte til enhver tid. Bemærk, at modellerne har begrænsninger for al deres anvendelighed. Eksemplets ligning fungerer godt til at droppe en stålkugle, men ikke en fjer, fordi luften sænker fjederen ned.