Algebra markerer det første ægte konceptuelle spring, som eleverne skal tage i matematikens verden og lærer at manipulere variabler og arbejde med ligninger. Når du begynder at arbejde med ligninger, støder du på nogle almindelige udfordringer, herunder eksponenter, brøker og flere variabler. Alle disse kan mestres ved hjælp af et par grundlæggende strategier.
Den grundlæggende strategi for algebraiske ligninger
Den grundlæggende strategi til løsning af algebraisk ligning er først at isolere det variable udtryk på den ene side af ligningen, og anvend derefter omvendte operationer efter behov for at fjerne eventuelle koefficienter eller eksponenter. En omvendt operation "fortryder" en anden operation; for eksempel "fortryder" division multiplikationen af en koefficient, og kvadratrødder "fortryder" kvadratoperationen af en anden-magt-eksponent.
Bemærk, at hvis du anvender en operation på den ene side af en ligning, skal du anvende den samme operation på den anden side af ligningen. Ved at opretholde denne regel kan du ændre måden, hvorpå en ligning er skrevet, uden at ændre deres forhold til hinanden.
Løsning af ligninger med eksponenter
De ligningstyper med eksponenter, du støder på under din algebrajse, kan let udfylde en hel bog. Indtil videre skal du fokusere på at mestre de mest basale af eksponentligninger, hvor du har et enkelt variabelt udtryk med en eksponent. For eksempel:
y ^ 2 + 3 = 19
Træk 3 fra begge sider af ligningen, og lad det variable udtryk være isoleret på den ene side:
y ^ 2 = 16
Fjern eksponenten fra variablen ved at anvende en radikal med samme indeks. Husk, du skal gøre dette til begge sider af ligningen. I dette tilfælde betyder det at tage kvadratroden på begge sider:
\ sqrt {y ^ 2} = \ sqrt {16}
Hvilket forenkler at:
y = 4
Løsning af ligninger med brøker
Hvad hvis din ligning involverer en brøkdel? Overvej eksemplet på
\ frac {3} {4} (x + 7) = 6
Hvis du fordeler fraktionen 3/4 på tværs af (x+ 7), ting kan blive rodet hurtigt. Her er en meget enklere strategi.
Multiplicer begge sider af ligningen med brøkens nævner. I dette tilfælde betyder det at multiplicere begge sider af fraktionen med 4:
\ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4
Forenkle begge sider af ligningen. Dette fungerer ud til:
3 (x + 7) = 24
Du kan forenkle igen, hvilket resulterer i:
3x + 21 = 24
Træk 21 fra begge sider, isoler det variable udtryk på den ene side af ligningen:
3x = 3
Del endelig begge sider af ligningen med 3 for at afslutte løsningen påx:
x = 1
Løsning af en ligning med to variabler
Hvis du harenligning med to variabler, bliver du sandsynligvis bedt om at løse kun en af disse variabler. I så fald følger du stort set den samme procedure, som du ville bruge til en algebraisk ligning med en variabel. Overvej eksemplet
5x + 4 = 2 år
hvis du bliver bedt om at løse detx.
Træk 3 fra hver side af ligningen, og lad derefterxudtryk i sig selv på den ene side af ligestegnet:
5x = 2y - 4
Del begge sider af ligningen med 5 for at fjerne koefficienten fraxsemester:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Hvis du ikke får andre oplysninger, er dette så vidt du kan tage beregningerne.
Løsning af to ligninger med to variabler
Hvis du får et system (eller en gruppe) aftoligninger, der har de samme to variabler i sig, betyder det normalt, at ligningerne er relaterede - og du kan bruge en teknik kaldet substitution til at finde værdier for begge variabler. Overvej ligningen fra det sidste eksempel plus en anden relateret ligning, der bruger de samme variabler:
5x + 4 = 2 år \\ x + 3 år = 23
Vælg en ligning, og løs denne ligning for en af variablerne. I dette tilfælde skal du bruge det, du allerede ved om den første ligning fra det foregående eksempel, som du allerede har løstx:
x = \ frac {2y - 4} {5}
Erstat resultatet fra trin 1 i den anden ligning. Med andre ord, erstat værdien (2y- 4) / 5 for ethvert tilfælde afxi den anden ligning. Dette giver dig en ligning med kun en variabel:
\ frac {2y - 4} {5} + 3y = 23
Forenkle ligningen fra trin 2, og løs den resterende variabel, som i dette tilfælde ery.
Start med at gange begge sider med 5:
5 × \ bigg (\ frac {2y - 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23
Dette forenkler at:
2y - 4 + 15y = 115
Efter at have kombineret lignende termer forenkles dette yderligere til:
17y = 119
Og endelig, efter at have delt begge sider med 17, har du:
y = 7
Erstat værdien fra trin 3 i ligningen fra trin 1. Dette giver dig:
x = \ frac {(2 × 7) - 4} {5}
Hvilket forenkler at afsløre værdien afx:
x = 2
Så løsningen på dette ligningssystem erx= 2 ogy = 7.