Der er en vigtig stor forskel mellem at finde den lodrette asymptote (r) i grafen for en rationel funktion og at finde et hul i grafen til den funktion. Selv med de moderne grafregnemaskiner, vi har, er det meget vanskeligt at se eller identificere, at der er et hul i grafen. Denne artikel viser, hvordan man identificerer både analytisk og grafisk.
Vi bruger en given rationel funktion som et eksempel til at vise analytisk, hvordan man finder en lodret asymptote og et hul i grafen for den funktion. Lad den rationelle funktion være,... f (x) = (x-2) / (x² - 5x + 6).
Faktorisering af nævneren af f (x) = (x-2) / (x² - 5x + 6). Vi får følgende ækvivalent funktion, f (x) = (x-2) / [(x-2) (x-3)]. Hvis nævneren (x-2) (x-3) = 0 nu, vil den rationelle funktion være udefineret, dvs. tilfældet med division efter nul (0). Se artiklen 'Sådan divideres med nul (0)', skrevet af den samme forfatter, Z-MATH.
Vi vil bemærke, at division efter nul kun er udefineret, hvis det rationelle udtryk har en tæller, der ikke er lig med nul (0), og nævneren er lig med nul (0), i dette tilfælde vil grafen for funktionen gå uden grænser mod positiv eller negativ uendelighed ved værdien af x, der får nævneren til at svare til nul. Det er ved denne x, at vi tegner en lodret linje, kaldet Den lodrette asymptote.
Hvis tælleren og nævneren for det rationelle udtryk begge er nul (0) for den samme værdi af x, så er Opdeling efter nul med denne værdi af x siges at være 'meningsløs' eller ubestemt, og vi har et hul i grafen til denne værdi af x.
Så i den rationelle funktion f (x) = (x-2) / [(x-2) (x-3)] ser vi, at ved x = 2 eller x = 3 er nævneren lig med nul (0 ). Men ved x = 3 bemærker vi, at tælleren er lig med (1), det vil sige f (3) = 1/0, derfor en lodret asymptote ved x = 3. Men ved x = 2 har vi f (2) = 0/0, 'meningsløs'. Der er et hul i grafen ved x = 2.
Vi kan finde koordinaterne for hullet ved at finde en ækvivalent rationel funktion til f (x), der har alle de samme punkter på f (x) undtagen ved punktet ved x = 2. Lad os g (x) = (x-2) / [(x-2) (x-3)], x ≠ 2, så ved at reducere til laveste vilkår har vi g (x) = 1 / (x- 3). Ved at erstatte x = 2 til denne funktion får vi g (2) = 1 / (2-3) = 1 / (- 1) = -1. så hullet i grafen for f (x) = (x-2) / (x² - 5x + 6) er ved (2, -1).
Ting, du har brug for
- Papir og
- Blyant.