Intet ødelægger en ligning som logaritmer. De er besværlige, vanskelige at manipulere og lidt mystiske for nogle mennesker. Heldigvis er der en nem måde at fjerne din ligning af disse irriterende matematiske udtryk. Alt du skal gøre er at huske, at en logaritme er den omvendte af en eksponent. Selvom basen af en logaritme kan være et hvilket som helst tal, er de mest almindelige baser, der anvendes i videnskaben, 10 og e, hvilket er et irrationelt tal kendt som Eulers nummer. For at skelne mellem dem bruger matematikere "log", når basen er 10 og "ln", når basen er e.
TL; DR (for lang; Læste ikke)
For at fjerne en ligning af logaritmer skal du hæve begge sider til den samme eksponent som basen af logaritmerne. I ligninger med blandede udtryk skal du samle alle logaritmerne på den ene side og forenkle først.
Hvad er en logaritme?
Konceptet med en logaritme er simpelt, men det er lidt svært at sætte ord på. En logaritme er det antal gange, du skal multiplicere et tal i sig selv for at få et andet nummer. En anden måde at sige det på er, at en logaritme er den styrke, som et bestemt antal - kaldet basen - skal hæves for at få et andet nummer. Kraften kaldes logaritmens argument.
Log f.eks82 = 64 betyder simpelthen, at hæve 8 til kraften 2 giver 64. I ligningsloggen x = 100, basen forstås som 10, og du kan nemt løse for argumentet, x fordi det besvarer spørgsmålet, "10 rejst til hvilken effekt svarer til 100?" Svaret er 2.
En logaritme er den modsatte af en eksponent. Ligningsloggen x = 100 er en anden måde at skrive 10_ påx_ = 100. Dette forhold gør det muligt at fjerne logaritmer fra en ligning ved at hæve begge sider til den samme eksponent som logaritmens basis. Hvis ligningen indeholder mere end en logaritme, skal de have den samme base for at denne kan fungere.
Eksempler
I det enkleste tilfælde er logaritmen for et ukendt nummer lig med et andet tal:
\ log x = y
Hæv begge sider til eksponenter på 10, så får du det
10 ^ {\ log x} = 10 ^ y
Siden 10(log x) er simpelthen xbliver ligningen
x = 10 ^ y
Når alle termerne i ligningen er logaritmer, frembringer begge sider til en eksponent et standard algebraisk udtryk. For eksempel hæve
\ log (x ^ 2 - 1) = \ log (x + 1)
til en effekt på 10, og du får:
x ^ 2 - 1 = x + 1
hvilket forenkler til
x ^ 2 - x - 2 = 0.
Løsningerne er x = −2; x = 1.
I ligninger, der indeholder en blanding af logaritmer og andre algebraiske termer, er det vigtigt at samle alle logaritmerne på den ene side af ligningen. Du kan derefter tilføje eller trække vilkår. I henhold til logaritmeloven gælder følgende:
\ log x + \ log y = \ log (xy) \\ \, \\ \ log x - \ log y = \ log \ bigg (\ frac {x} {y} \ bigg)
Her er en procedure til løsning af en ligning med blandede udtryk:
Start med ligningen: For eksempel
\ log x = \ log (x - 2) + 3
Omarrangere vilkårene:
\ log x - \ log (x - 2) = 3
Anvend logaritmeloven:
\ log \ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 3
Løft begge sider til en styrke på 10:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3
Løs for x:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \ frac {2000} {999} = 2.002