En normal kurve er navnet på grafen for standard normal sandsynlighedsfordeling, hvilket er hvad folk (ofte ubevidst) taler om, når de nævner en "klokkekurve", der viser, hvor mennesker eller andre variabler står i forhold til et populationsgennemsnit eller gennemsnit.
En normal normalkurve giver både en visuel og en numerisk repræsentation af, hvordan en given variabel fordeles over en population, når virkelige situation repræsenteret af funktionen er kendt for at have en symmetrisk fordeling i den interessepopulation (deraf "klokken" form). Dette kan omfatte IQ eller højde hos mænd, som sandsynligvis vil variere mod den ene side af middelværdien, som det er for den anden, og det vil sandsynligvis også variere i samme størrelse.
Alle normale kurver og deres tilknyttede data har visse attributter til fælles, der tillader generering af numeriske tabeller, der muliggør løsning af arealværdier i stedet for mere komplekse matematiske beregninger.
Standard normalfordeling
I enhver normalfordeling falder pr. Definition lige under 68 procent af datapunkterne inden for en standardafvigelse af gennemsnittet af befolkningen eller populationsprøven. Cirka 95 procent er inden for to standardafvigelser, og 99,9 procent ligger inden for tre standardafvigelser.
Hvert standardafvigelsesmærke tildeles et heltal omkring middelværdien (f.eks. -3, -2, 1, 1, 2, 3) og tildeles variabel z. Denne værdi eller z-score kan også påtage sig ikke-heltal værdier (f.eks. -2,58).
Z-scores bruges til at bestemme sandsynligheden for, at en begivenhed finder sted inden for et specificeret interval af muligheder. For eksempel, hvis du får at vide, at middel- og standardafvigelsen for IQ (intelligenskvotient) er 100 og 20 point, hvilket gør z = 0 for IQ = 100 og z = 1.0 for IQ = 120, og bliver bedt om at give sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt person vil have en IQ på 140 eller højere, bruger du en z-tabel til at nå frem til en løsning.
Området under den normale kurve
I de fleste tilfælde inden for matematik findes området under kurven for ligningen ved at manipulere ligningens unikke elementer direkte, f.eks. ved at integrere kurven mellem x-koordinaterne for interesse. Med den normale kurve ser du i stedet enten et eller to tal op på en tabel kaldet z-værdier og udfører om nødvendigt et subtraktionstrin.
Arealet under hele den normale kurve, uanset dens nøjagtige form, tildeles værdien 1,0. Alle delområder under normal kurve er således decimaltal mellem 0 og 1 og kan let konverteres til procenter ved at gange dem med 100.
Z-tabeller giver mulighed for aflæsninger op til scorings hundrede plads for at give områder til fire eller fem signifikante cifre. Dette gøres ved at få tiendepladsen på venstre akse og derefter læse på tværs af den relevante række for at få hundredepladsen.
- Dette forklarer, hvorfor andelen af området til venstre for z = -2,58 er .00494.
Normal fordeling: Område mellem to punkter
Antag, at i en test med et gennemsnit på 80 og en standardafvigelse på 10, vil du vide, hvor stor en procentdel af de studerende, der havde en score mellem 65 og 85.
Du vil starte med at finde øvre og nedre z-scores. Dette gøres ved at trække gennemsnittet fra din øvre grænse og dividere med standardafvigelsen: (85 - 80) / 10 = 0,50. Du finder derefter den nedre grænse på samme måde: (65 - 80) / 10 -1,50.
Nu kan du tildele områdeværdier til disse z-scores ved at henvise til tabellen. Disse værdier er 0,68916 for z = 0,5 og 0,06681 for z = 1,5. Hvert af disse områder repræsenterer området under kurven fra venstre "hale" til den pågældende x-værdi, så for området mellem de to punkter x = 65 og x = 85 trækker du den mindste værdi fra den større for at få 0.63135.
Således kunne 63,1 procent af score forventes at falde inden for området 65 til 85 givet en standardafvigelse på 10 i en normalfordeling.