Rationelle udtryk synes mere komplicerede end grundlæggende heltal, men reglerne for at multiplicere og dele dem er lette at forstå. Uanset om du tackler et kompliceret algebraisk udtryk eller har at gøre med en simpel brøk, er reglerne for multiplikation og division stort set de samme. Når du har lært, hvad rationelle udtryk er, og hvordan de relaterer sig til almindelige fraktioner, vil du være i stand til at formere og dele dem med tillid.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
Multiplikation og opdeling af rationelle udtryk fungerer ligesom at multiplicere og dele brøker. For at multiplicere to rationelle udtryk skal du gange tællerne sammen og derefter gange nævnerne sammen.
For at dele et rationelt udtryk med et andet skal du følge de samme regler som at dele en brøkdel med en anden. Vend først fraktionen i divisoren (som du deler med) på hovedet, og gang den derefter med brøkdelen i udbyttet (som du deler).
Hvad er et rationelt udtryk?
Udtrykket "rationelt udtryk" beskriver en brøkdel, hvor tælleren og nævneren er polynomer. Et polynom er et udtryk som
2x ^ 2 + 3x + 1
sammensat af konstanter, variabler og eksponenter (som ikke er negative). Følgende udtryk:
\ frac {x + 5} {x ^ 2 - 4}
Giver et eksempel på et rationelt udtryk. Dette har grundlæggende form af en brøk, bare med en mere kompliceret tæller og nævneren. Bemærk, at rationelle udtryk kun er gyldige, når nævneren ikke er lig med nul, så eksemplet ovenfor er kun gyldigt, nårx ≠ 2.
Multiplikation af rationelle udtryk
Multiplikation af rationelle udtryk følger stort set de samme regler som at multiplicere enhver brøkdel. Når du multiplicerer en brøk, multiplicerer du den ene tæller med den anden og den ene nævneren med den anden, og når du ganger rationelle udtryk multiplicerer du en hel tæller med den anden tæller og hele nævneren med den anden nævneren.
For en brøkdel skriver du:
\ begin {align} \ frac {2} {5} × \ frac {4} {7} & = \ frac {2 × 4} {5 × 7} \\ \, \\ & = \ frac {8} { 35} \ end {justeret}
For to rationelle udtryk bruger du den samme grundlæggende proces:
\ begin {align} \ frac {x + 5} {x - 4} × \ frac {x} {x + 1} & = \ frac {(x + 5) × x} {(x - 4) × (x + 1)} \\ \, \\ & = \ frac {x ^ 2 + 5x} {x ^ 2 -4x + x - 4} \\ \, \\ & = \ frac {x ^ 2 + 5x} { x ^ 2 - 3x - 4} \ end {justeret}
Når du ganger et helt tal (eller algebraisk udtryk) med en brøk, multiplicerer du simpelthen tælleren af brøken med hele tallet. Dette skyldes, at et helt talnkan skrives somn/ 1, og derefter følger standardreglerne for multiplikation af brøker, faktor 1 ændrer ikke nævneren. Følgende eksempel illustrerer dette:
\ begin {justeret} \ frac {x + 5} {x ^ 2 - 4} × x & = \ frac {x + 5} {x ^ 2 - 4} × \ frac {x} {1} \\ \, \\ & = \ frac {(x + 5) × x} {(x ^ 2 - 4) × 1} \\ \, \\ = & \ frac {x ^ 2 + 5x} {x ^ 2-4} \ end {justeret}
Opdeling af rationelle udtryk
Ligesom at multiplicere rationelle udtryk følger deling af rationelle udtryk de samme grundlæggende regler som at dele brøker. Når du deler to fraktioner, vender du den anden fraktion på hovedet som det første trin og ganger dig derefter. Så:
\ begin {align} \ frac {4} {5} ÷ \ frac {3} {2} & = \ frac {4} {5} × \ frac {2} {3} \\ \, \\ & = \ frac {4 × 2} {5 × 3} \\ \, \\ & = \ frac {8} {15} \ end {justeret}
At dele to rationelle udtryk fungerer på samme måde, så:
\ begin {align} \ frac {x + 3} {2x ^ 2} ÷ \ frac {4} {3x} & = \ frac {x + 3} {2x ^ 2} × \ frac {3x} {4} \ \ \, \\ & = \ frac {(x + 3) × 3x} {2x ^ 2 × 4} \\ \, \\ & = \ frac {3x ^ 2 + 9x} {8x ^ 2} \ end { justeret}
Dette udtryk kan forenkles, fordi der er en faktor afx(inklusivex2) i begge termer i tælleren og en faktor påx2 i nævneren. Et sæt afxs kan annullere for at give:
\ begin {align} \ frac {3x ^ 2 + 9x} {8x ^ 2} & = \ frac {x (3x + 9)} {8x ^ 2} \\ & = \ frac {3x + 9} {8x} \ end {justeret}
Du kan kun forenkle udtryk, når du kan fjerne en faktor fra hele udtrykket øverst og nederst som ovenfor. Følgende udtryk:
\ frac {x - 1} {x}
Kan ikke forenkles på samme måde, fordixi nævneren opdeler hele udtrykket i tælleren. Du kunne skrive:
\ begin {align} \ frac {x-1} {x} & = \ frac {x} {x} - \ frac {1} {x} \\ & = 1 - \ frac {1} {x} \ end {justeret}
Men hvis du ville.