Alle matematikstuderende og mange naturfagstuderende støder på polynomer på et eller andet tidspunkt i løbet af deres studier, men heldigvis er de nemme at håndtere, når du først lærer det grundlæggende. De vigtigste operationer, du skal gøre med polynomiske udtryk, er at tilføje, trække fra, multiplicere og deling, og mens deling kan være kompleks, vil du oftest være i stand til at håndtere det grundlæggende med lethed.
Polynomer: Definition og eksempler
Polynom beskriver et algebraisk udtryk med et eller flere udtryk, der involverer en variabel (eller mere end en) med eksponenter og muligvis konstanter. De kan ikke inkludere deling med en variabel, kan ikke have negative eller brøkdele eksponenter og skal have et endeligt antal udtryk.
Dette eksempel viser et polynom:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
Og dette viser en anden:
xy ^ 2 - 3 x + y
Der er mange måder at klassificere polynomier på, inklusive efter grad (summen af eksponenterne på den højeste effektperiode, f.eks. 3 i første eksempel) og med antallet af udtryk, de indeholder, såsom monomier (et udtryk), binomier (to udtryk) og trinomier (tre vilkår).
Tilføjelse og fratrækning af polynomer
Tilføjelse og fratrækning af polynomer afhænger af at kombinere "lignende" termer. Et lignende udtryk er et med de samme variabler og eksponenter som et andet, men antallet de ganges med (koefficienten) kan være forskelligt. For eksempel,x2 og 4x 2 er som udtryk, fordi de har samme variabel og eksponent, og 2xy 4 og 6xy 4 er ligesom udtryk også. Imidlertid,x2, x3, x2y2 ogy2 er ikke som udtryk, fordi hver enkelt indeholder forskellige kombinationer af variabler og eksponenter.
Tilføj polynomer ved at kombinere lignende udtryk på samme måde som med andre algebraiske termer. Se for eksempel på problemet:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Saml lignende vilkår for at få:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
Og evaluer derefter ved blot at tilføje koefficienterne og kombinere dem til et enkelt udtryk:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Bemærk, at du ikke kan gøre noget medyfordi det ikke har noget lignende udtryk.
Subtraktion fungerer på samme måde:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Først skal du bemærke, at alle termerne i højre parentes trækkes fra dem i venstre parentes, så skriv det som:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Kombiner lignende udtryk og evaluer for at få:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
For et problem som dette:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Bemærk, at minustegnet anvendes på hele udtrykket i højre parentes, så de to negative tegn før 3x2 blive et tilføjelsestegn:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Beregn derefter som før.
Multiplikation af polynomiske udtryk
Multiplicer polynomiske udtryk ved at bruge den fordelende egenskab af multiplikation. Kort sagt multiplicerer du hvert udtryk i det første polynom med hvert udtryk i det andet. Se på dette enkle eksempel:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Du løser dette ved hjælp af den distribuerende ejendom, så:
\ begin {justeret} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {justeret}
Håndter mere komplicerede problemer på samme måde:
\ begin {justeret} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {justeret}
Disse problemer kan blive komplicerede for større grupperinger, men den grundlæggende proces er stadig den samme.
Opdeling af polynomiske udtryk
At dele polynomiske udtryk tager længere tid, men du kan tackle det i trin. Se på udtrykket:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Skriv først udtrykket som en lang opdeling med divisoren til venstre og udbyttet til højre:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Del den første periode i udbyttet med den første periode i divisoren, og placer resultatet på linjen over divisionen. I dette tilfælde,x2 ÷ x = x, så:
\ begin {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {align}
Multiplicer dette resultat med hele divisoren, så i dette tilfælde, (x + 2) × x = x2 + 2 x. Sæt dette resultat under divisionen:
\ begin {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {align}
Træk resultatet på den nye linje fra vilkårene direkte over det (bemærk, at du teknisk ændrer tegnet, så hvis du havde et negativt resultat, ville du tilføje det i stedet) og læg dette på en linje under det. Flyt også den sidste periode fra det oprindelige udbytte.
\ begin {justeret} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ slut {justeret}
Gentag nu processen med divisoren og det nye polynom på bundlinjen. Så del den første periode af skillevæggen (x) ved første udbytteperiode (−5x) og sæt dette ovenfor:
\ begin {justeret} & x -5 \\ x + 2) & \ overlinje {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ slut {justeret}
Multiplicer dette resultat (-5x ÷ x= −5) af den oprindelige skillevæg (så (x + 2) × −5 = −5 x−10) og sæt resultatet på en ny bundlinje:
\ begin {justeret} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ slut {justeret}
Træk derefter bundlinjen fra den næste op (så i dette tilfælde skift tegnet og tilføj), og sæt resultatet på en ny bundlinje:
\ begin {justeret} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {justeret}
Da der nu er en række nuller i bunden, er processen afsluttet. Hvis der ikke var udtryk, der ikke var nul, ville du gentage processen igen. Resultatet er på den øverste linje, så:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Denne opdeling og nogle andre kan løses mere enkelt, hvis du kan faktor polynomet i udbyttet.