Algebra involverer ofte forenkling af udtryk, men nogle udtryk er mere forvirrende at håndtere end andre. Komplekse tal involverer mængden kendt somjeg, et "imaginært" nummer med ejendommenjeg= √−1. Hvis du blot skal have et udtryk, der involverer et komplekst tal, kan det virke skræmmende, men det er en ganske simpel proces, når du først har lært de grundlæggende regler.
TL; DR (for lang; Læste ikke)
Forenkle komplekse tal ved at følge reglerne for algebra med komplekse tal.
Hvad er et komplekst nummer?
Komplekse tal defineres ved deres inkludering afjegudtryk, som er kvadratroden af minus en. I grundlæggende matematik eksisterer firkantede rødder med negative tal ikke rigtig, men de vises lejlighedsvis i algebra-problemer. Den generelle form for et komplekst tal viser deres struktur:
z = a + bi
Hvorzmærker det komplekse nummer-enrepræsenterer et hvilket som helst tal (kaldet den "rigtige" del) ogbrepræsenterer et andet nummer (kaldet den "imaginære" del), som begge kan være positive eller negative. Så et eksempel på et komplekst nummer er:
z = 2 −4i
Da alle kvadratrødder af negative tal kan repræsenteres ved multipla afjeg, dette er formularen for alle komplekse tal. Teknisk set beskriver et almindeligt tal bare et specielt tilfælde af et komplekst tal hvorb= 0, så alle tal kan betragtes som komplekse.
Grundlæggende regler for algebra med komplekse tal
For at tilføje og trække komplekse tal skal du blot tilføje eller trække de reelle og imaginære dele separat. Så for komplekse talz = 2 – 4jegogw = 3 + 5jeg, summen er:
\ begin {justeret} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + jeg \ slut {justeret}
At trække numrene fungerer på samme måde:
\ begin {justeret} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2-3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ slut {justeret }
Multiplikation er en anden simpel operation med komplekse tal, fordi den fungerer som almindelig multiplikation, bortset fra at du er nødt til at huske detjeg2 = −1. Så for at beregne 3jeg × −4jeg:
3i × -4i = -12i ^ 2
Men sidenjeg2= −1, derefter:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
Med fulde komplekse tal (ved hjælp afz = 2 – 4jegogw = 3 + 5jegigen) multiplicerer du dem på samme måde som du ville med almindelige tal som (-en + b) (c + d) ved hjælp af metoden “første, indre, ydre, sidste” (FOIL) for at give (-en + b) (c + d) = ac + bc + annonce + bd. Alt du skal huske er at forenkle eventuelle forekomster afjeg2. Så for eksempel:
\ begin {justeret} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {justeret}
Opdeling af komplekse numre
Opdeling af komplekse tal indebærer multiplicering af tælleren og nævneren af brøken med det komplekse konjugat af nævneren. Det komplekse konjugat betyder bare versionen af det komplekse nummer med den imaginære del omvendt i tegnet. Så forz = 2 – 4jeg, det komplekse konjugatz = 2 + 4jegog forw = 3 + 5jeg, w = 3 −5jeg. For problemet:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Det nødvendige konjugat erw*. Opdel tælleren og nævneren ved at give:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
Og så arbejder du igennem som i det foregående afsnit. Tælleren giver:
\ begin {justeret} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ slut {justeret}
Og nævneren giver:
\ begin {justeret} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ slut {justeret}
Det betyder:
\ begin {align} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {justeret}
Forenkling af komplekse numre
Brug ovenstående regler efter behov for at forenkle komplekse udtryk. For eksempel:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Dette kan forenkles ved at bruge tilføjelsesreglen i tælleren, multiplikationsreglen i nævneren og derefter udfylde delingen. For tælleren:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
For nævneren:
\ begin {justeret} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ slut {justeret}
At sætte disse tilbage på plads giver:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Multiplikation af begge dele med konjugatet af nævneren fører til:
\ begin {justeret} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2-6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {justeret}
Så det betyderzforenkler som følger:
\ begin {align} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {justeret}
