Produktet af to skalære mængder er en skalar, og produktet af en skalar med en vektor er en vektor, men hvad med produktet af to vektorer? Er det en skalar eller en anden vektor? Svaret er, det kunne være enten!
Der er to måder at multiplicere vektorer sammen. Den ene er ved at tage deres prikprodukt, som giver en skalar, og den anden er ved at tage deres krydsprodukt, som giver en anden vektor. Hvilket produkt, der skal bruges, afhænger af det specifikke scenario, og hvilken mængde du prøver at finde.
Detprikproduktkaldes undertidenskalært produktellerindre produkt. Geometrisk kan du tænke på prikproduktet mellem to vektorer som en måde at multiplicere vektorværdierne, der kun tæller bidrag i samme retning.
- Bemærk: Punktprodukter kan være negative eller positive, men det tegn er ikke en retningsangivelse. Selvom vektorretning i en dimension ofte er angivet med tegn, kan skalære størrelser også have tilknyttet tegn, der ikke er retningsindikatorer. Gæld er blot et af mange eksempler på dette.
Definition af prikproduktet
Prikproduktet af vektorer-en = (ax, ay)ogb = (bx, by)i et standard kartesisk koordinatsystem defineres som følger:
\ fed {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Når du tager prikproduktet af en vektor med sig selv, opstår der et interessant forhold:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Hvor |-en| er størrelsen (længden) af-enaf Pythagoras sætning.
En anden formel til produktprodukt kan udledes ved hjælp af cosinusloven. Dette gøres som følger:
Overvej ikke nul-vektorer-enogbsammen med deres forskelle vektora - b. Arranger de tre vektorer for at danne en trekant.
Loven om cosinus fra trigonometri fortæller os, at:
| \ fed {ab} | ^ 2 = | \ fed {a} | ^ 2 + | \ fed {b} | ^ 2 - 2 | \ fed {a} || \ fed {b} | \ cos (\ theta )
Og ved hjælp af definitionen af det punktprodukt får vi:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ fed {a \ cdot b}
At sætte begge udtryk ens og derefter forenkle får vi:
\ annuller {| \ fed {a} | ^ 2} + \ annuller {| \ fed {b} | ^ 2} - 2 \ fed {a \ cdot b} = \ annuller {| \ fed {a} | ^ 2 } + \ annuller {| \ fed {b} | ^ 2} - 2 | \ fed {a} || \ fed {b} | \ cos (\ theta) \\\ tekst {} \\\ betyder \ afkrydsningsfelt {\ fed {a \ cdot b} = | \ fed {a} || \ fed {b} | \ cos (\ theta)}
Denne formulering giver vores geometriske intuition mulighed for at komme i spil. Mængden |-en| cos (θ) er størrelsen af fremskrivningen af vektoren-enpå vektorb.
Så vi kan tænke på punktproduktet som projicering af den ene vektor på den anden og derefter produktet af deres værdier. Med andre ord kan det ses som produktet af en vektor med mængden af den anden vektor i samme retning som sig selv.
Dot-produktets egenskaber
Følgende er flere egenskaber ved dot-produktet, som du måske finder nyttige:
\ # \ tekst {1. Hvis} \ theta = 0 \ tekst {, så} \ fed {a \ cdot b} = | \ fed {a} || \ fed {b} |
Dette skyldes, at cos (0) = 1.
\ # \ tekst {2. Hvis} \ theta = 180 \ text {, så} \ fed {a \ cdot b} = - | \ fed {a} || \ fed {b} |
Dette skyldes, at cos (180) = -1.
\ # \ tekst {3. Hvis} \ theta = 90 \ text {, så} \ fed {a \ cdot b} = 0
Dette skyldes, at cos (90) = 0.
- Bemærk: For 0 <
θ
<90 vil prikproduktet være positivt og for 90 <
θ
<180, dot-produktet vil være negativt.
\ # \ tekst {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
Dette følger af anvendelse af kommutativ lov til definition af dot-produkt.
\ # \ tekst {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Bevis:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ fed {a \ cdot c}
\ # \ tekst {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Bevis:
c (\ fed {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ fed {b}
Sådan finder du prikproduktet
Eksempel 1:I fysik, arbejde udført af en styrkeFpå et objekt, da det undergår forskydningd, er defineret som:
W = \ fed {F} \ cdot \ fed {d} = | \ fed {F} || \ fed {d} | \ cos (\ theta)
Hvor θ er vinklen mellem kraftvektoren og forskydningsvektoren.
Mængden af arbejde udført af en styrke er en indikation af, hvor meget den kraft bidrog til forskydningen. Hvis kraften er i samme retning som forskydningen (cos (θ) = 0), yder den sit maksimale bidrag. Hvis den er vinkelret på forskydningen (cos (Ѳ) = 90), det bidrager overhovedet ikke. Og hvis det er modsat forskydningen, (cos (θ) = 180), yder det et negativt bidrag.
Antag, at et barn skubber et legetøjstog over et spor ved at anvende en kraft på 5 N i en vinkel på 25 grader i forhold til sporets linje. Hvor meget arbejde udfører barnet i toget, når hun flytter det 0,5 m?
Opløsning:
F = 5 \ tekst {N} \\ d = 0,5 \ tekst {m} \\ \ theta = 25 \ grad \\
Ved hjælp af punktproduktdefinitionen af arbejde og tilslutning af værdier får vi derefter:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ times0.5 \ times \ cos (25) = \ boxed {2.27 \ text {J}}
Fra dette konkrete eksempel skal det være endnu tydeligere, at anvendelse af en kraft vinkelret på forskydningsretningen ikke virker. Hvis barnet skubbede toget i en ret vinkel i forhold til sporet, bevæger toget sig hverken fremad eller bagud langs sporet. Det er også intuitivt, at barnets arbejde på toget øges, når vinklen aftager, og kraften og forskydningen er tættere på linjen.
Eksempel 2:Effekt er et andet eksempel på en fysisk størrelse, der kan beregnes ved hjælp af et punktprodukt. I fysik svarer kraft til arbejde divideret med tid, men det kan også skrives som punktproduktet af kraft og hastighed som vist:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Hvorver hastighed.
Overvej det forrige eksempel på, at barnet leger med toget. Hvis vi i stedet får at vide, at den samme kraft påføres, hvilket får toget til at bevæge sig 2 m / s ned ad sporet, så kan vi bruge prikproduktet til at finde strømmen:
P = \ fed {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ gange2 \ gange \ cos (25) = 9.06 \ tekst {Watts}
Eksempel 3:Et andet eksempel, hvor prikprodukter anvendes i fysik, er i tilfælde af magnetisk flux. Magnetisk flux er mængden af magnetfelt, der passerer gennem et givet område. Det findes som prikproduktet af magnetfeltetBmed områdetEN. (Retningen af en areavektor ernormaleller vinkelret på overfladen af området.)
\ Phi = \ fed {B \ cdot A}
Antag, at et felt på 0,02 Tesla passerer gennem en trådsløjfe med en radius på 10 cm, hvilket gør en vinkel på 30 grader med det normale. Hvad er strømmen?
\ Phi = \ fed {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 \ gange (\ pi \ gange0,1 ^ 2) \ gange \ cos (30) = 0,000544 \ tekst {Wb}
Når denne flux ændres, enten ved at ændre feltværdien, ændre loopområdet eller ændre vinkel ved at dreje løkken eller feltkilden, vil strøm blive induceret i sløjfen, der genererer elektricitet!
Bemærk igen, hvordan vinklen er relevant på en intuitiv måde. Hvis vinklen var 90 grader, ville dette betyde, at feltet ville ligge langs det samme plan som området, og ingen feltlinjer ville passere gennem sløjfen, hvilket resulterede i ingen flux. Mængden af flux øges så jo tættere vinklen mellem feltet og det normale kommer til 0. Prikproduktet giver os mulighed for at bestemme, hvor meget af marken der er i den retning, der er normal til overfladen, og bidrager derfor til strømmen.
Vektorprojektion og prikproduktet
I tidligere afsnit blev det nævnt, at prikproduktet kan betragtes som en måde at projicere en vektor på en anden og derefter multiplicere deres størrelser. Som sådan bør det ikke være overraskende, at en formel til vektorprojektion kan udledes fra prikproduktet.
For at projicere vektor-enpå vektorb, tager vi prikproduktet af-enmed enenhedsvektori retning afb, og gang derefter dette skalarresultat med den samme enhedsvektor.
En enhedsvektor er en vektor med længde 1, der ligger i en bestemt retning. Enhedsvektoren i retning af vektorenber simpelthen vektorbdivideret med dens størrelse:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Så denne fremskrivning er så:
\ text {Projektion af} \ fed {a} \ tekst {på} \ fed {b} = \ Stor (\ fed {a} \ cdot \ frac {\ fed {b}} {| \ fed {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ fed {b}
Prikproduktet i højere dimension
Ligesom vektorer findes i højere dimension, så gør prikproduktet det også. Forestil dig eksemplet med, at barnet skubber toget igen. Antag, at hun skubber både nedad og i en vinkel til siden af sporet. I et standardkoordinatsystem skal kraft- og forskydningsvektorerne repræsenteres som tredimensionelle.
Indimensioner defineres punktproduktet som følger:
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Alle de samme prikkeproduktegenskaber fra før gælder stadig, og cosinusloven giver igen forholdet:
\ fed {a \ cdot b} = | \ fed {a} || \ fed {b} | \ cos (\ theta)
Hvor størrelsen af hver vektor findes via følgende, igen i overensstemmelse med Pythagoras sætning:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Sådan finder du punktproduktet i tre dimensioner
Eksempel 1:Punktproduktet er især nyttigt, når det er nødvendigt at finde vinklen mellem to vektorer. Antag for eksempel, at vi vil bestemme vinklen mellem-en= (2, 3, 2) ogb= (1, 4, 0). Selvom du tegner disse to vektorer i 3-rum, kan det være meget svært at pakke dit hoved rundt om geometrien. Men matematikken er ret ligetil ved at bruge det faktum, at:
\ fed {a \ cdot b} = | \ fed {a} || \ fed {b} | \ cos (\ theta) \\\ indebærer \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ fed {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ fed {b} |} \ Big)
Derefter beregner prikproduktet af-enogb:
\ fed {a \ cdot b} = 2 \ times1 + 3 \ times4 + 2 \ times0 = 14
Og beregning af størrelsen af hver vektor:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
Og til sidst at tilslutte alt, får vi:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {14} {4.12 \ times 4.12} \ Big) = \ boxed {34.4 \ degree}
Eksempel 2:En positiv ladning sidder ved koordinatpunktet (3, 5, 4) i et tredimensionelt rum. På hvilket punkt langs linjen, der peger i retning af vektor-en= (6, 9, 5) er det elektriske felt det største?
Løsning: Fra vores viden om, hvordan elektrisk feltstyrke relaterer til afstand, ved vi, at pointen på den linje, der er tættest på den positive ladning, er det sted, hvor feltet vil være stærkeste. Fra vores kendskab til prikprodukter kan vi gætte på, at brug af projektionsformlen giver mening her. Denne formel skal give os en vektor, hvis tip er nøjagtigt på det punkt, vi leder efter.
Vi er nødt til at beregne:
\ text {Projection of} (3, 5, 4) \ text {onto} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Big) \ fed {a}
For at gøre det skal vi først finde |-en|2:
| \ fed {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Derefter dot-produktet:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ gange6 + 5 \ gange9 + 4 \ gange5 = 83
Opdeler dette med |-en|2 giver 83/142 = 0,585. Multiplicer derefter denne skalar med-engiver:
0,585 \ fed {a} = 0,585 \ gange (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Derfor er det punkt langs linjen, hvor feltet er stærkest (3.51, 5.27, 2.93).