Inertia Moment (Angular & Rotational Inertia): Definition, ligning, enheder

Uanset om det er en skøjteløb, der trækker i armene og snurrer hurtigere, som hun gør, eller en kat, der styrer, hvor hurtigt den drejer i løbet af et fald for at sikre, at det lander på benene, er begrebet et øjeblik af inerti afgørende for rotationsfysikken bevægelse.

Ellers kendt som rotationsinerti, er inertimomentet den roterende analog af masse i andet af Newtons bevægelseslove, der beskriver en genstands tendens til at modstå vinkelacceleration.

Konceptet virker måske ikke for interessant i starten, men i kombination med loven om bevarelse af vinkel momentum, kan det bruges til at beskrive mange fascinerende fysiske fænomener og forudsige bevægelse i en bred vifte af situationer.

Inertimomentet for et objekt beskriver dets modstand mod vinkelacceleration og tegner sig for fordelingen af ​​masse omkring dens rotationsakse.

Det kvantificerer i det væsentlige, hvor svært det er at ændre hastigheden på et objekts rotation, uanset om det betyder at starte dets rotation, stoppe det eller ændre hastigheden på et allerede roterende objekt.

Det kaldes undertiden rotationsinerti, og det er nyttigt at tænke på det som en analog af masse i Newtons anden lov:F_net​ = ​mor. Her kaldes massen af ​​et objekt ofte inertimassen, og det beskriver objektets modstand mod (lineær) bevægelse. Rotationsinerti fungerer ligesom dette til rotationsbevægelse, og den matematiske definition inkluderer altid masse.

Det ækvivalente udtryk for den anden lov for rotationsbevægelse vedrørerdrejningsmoment​ (​τ, den roterende analog af kraft) til vinkelaccelerationαog inertimomentjeg​:

Det samme objekt kan dog have flere øjeblikke af inerti, for selvom en stor del af definitionen handler om massefordeling, tegner den sig også for placering af rotationsaksen.

For eksempel, mens inertimomentet for en stang, der roterer omkring dens centrum, erjeg​ = ​ML​²/ 12 (hvorMer masse ogLer stangens længde), har den samme stang, der roterer omkring den ene ende, et inertimoment givet afjeg​ = ​ML​²/3.

Så kroppens inertimoment afhænger af dens masseM, dens radiusRog dens rotationsakse.

I nogle tilfælde,Rkaldesd, for afstand fra rotationsaksen, og i andre (som med stangen i forrige afsnit) erstattes den af ​​længde,L. Symboletjegbruges til inertimoment, og den har enheder på kg m².

Som du måske forventer ud fra det, du har lært indtil videre, er der mange forskellige ligninger for inertimoment, og hver henviser til en bestemt form og en bestemt rotationsakse. I alle øjeblikke af inerti, udtrykketHR​² vises, selvom der for forskellige former er forskellige fraktioner foran dette udtryk, og i nogle tilfælde kan der være flere udtryk opsummeret sammen.

DetHR​² komponent er inertimomentet for en punktmasse på afstandRfra rotationsaksen, og ligningen for et specifikt stift legeme er opbygget som en sum af punktmasser eller ved at integrere et uendeligt antal små punktmasser over objektet.

Mens det i nogle tilfælde kan være nyttigt at udlede inertiens øjeblik for et objekt baseret på en simpel aritmetisk sum af punktmasser eller ved at integrering, i praksis er der mange resultater for almindelige former og rotationsakser, som du simpelthen kan bruge uden at skulle udlede det først:

Massiv cylinder (symmetriakse):

Massiv cylinder (centrum diameter akse eller diameteren af ​​det cirkulære tværsnit i midten af ​​cylinderen):

Massiv kugle (central akse):

Tynd sfærisk skal (centralakse):

Hoop (symmetriakse, dvs. vinkelret på midten):

Hoop (diameter akse, dvs. over diameteren af ​​cirklen dannet af rammen):

Stang (centerakse, vinkelret på stanglængde):

Stang (roterende omkring enden):

At forstå, hvorfor der er forskellige ligninger for hver rotationsakse, er et vigtigt skridt til at forstå begrebet et øjeblik af inerti.

Tænk på en blyant: Du kan dreje den ved at dreje den rundt i midten, ved enden eller ved at dreje den omkring dens midterakse. Fordi et objekts rotationsinerti afhænger af massefordelingen omkring rotationsaksen, er hver af disse situationer forskellige og kræver en separat ligning for at beskrive den.

Du kan få en instinktiv forståelse af begrebet inertimoment, hvis du skalerer det samme argument op til en 30-fods flagstang.

At dreje det ende over enden ville være meget vanskeligt - hvis du overhovedet kunne klare det - mens det at dreje stangen omkring dens centrale akse ville være meget lettere. Dette skyldes, at drejningsmoment afhænger stærkt af afstanden fra rotationsaksen og i 30 fod flag stang eksempel, at dreje det ende over ende involverer hver ekstreme ende 15 fod væk fra aksen af rotation.

Men hvis du snurrer det rundt om den centrale akse, er alt ret tæt på aksen. Situationen ligner meget at bære en tung genstand i armlængde vs. holder den tæt på din krop eller betjener en håndtag fra slutningen vs. tæt på omdrejningspunktet.

Dette er grunden til, at du har brug for en anden ligning for at beskrive inertimomentet for det samme objekt afhængigt af rotationsaksen. Den valgte akse påvirker, hvor langt dele af kroppen er fra rotationsaksen, selvom kroppens masse forbliver den samme.

Nøglen til beregning af inertimomentet for en stiv krop er at lære at bruge og anvende de passende ligninger.

Overvej blyanten fra det foregående afsnit, der spindes ende-over-ende omkring et centralt punkt langs dens længde. Selvom det ikke er enPerfektstang (den spidse spids bryder f.eks. denne form) den kan modelleres som sådan for at spare dig for at skulle gennemgå et helt øjeblik af inerti-afledning for objektet.

Så modellerer du objektet som en stang, vil du bruge følgende ligning til at finde inertimomentet kombineret med blyantens samlede masse og længde:

En større udfordring er at finde inertimomentet for sammensatte objekter.

Overvej f.eks. To kugler, der er forbundet med en stang (som vi vil behandle som masseløse for at forenkle problemet). Kugle et er 2 kg og placeret 2 m væk fra rotationsaksen, og kugle to er 5 kg i masse og 3 m væk fra rotationsaksen.

I dette tilfælde kan du finde inertimomentet for dette sammensatte objekt ved at betragte hver kugle som en punktmasse og arbejde ud fra den grundlæggende definition, at:

Med abonnementerne skelnes der blot mellem forskellige objekter (dvs. kugle 1 og kugle 2). To-kugleobjektet ville så have:

Vinkelmoment (rotationsanalogen til lineært momentum) defineres som produktet af rotationsinerti (dvs. inertimomentet,jeg) af objektet og dets vinkelhastighedω), som måles i grader / s eller rad / s.

Du vil utvivlsomt være fortrolig med loven om bevarelse af lineært momentum, og vinkelmoment bevares også på samme måde. Ligningen for vinkelmomentL) er:

At tænke på, hvad dette betyder i praksis, forklarer mange fysiske fænomener, fordi (i fravær af andre kræfter), jo højere et objekts rotationsinerti er, desto lavere er dets vinkelhastighed.

Overvej en skøjteløb, der spinder med en konstant vinkelhastighed med udstrakte arme, og bemærk, at hans arme strækker sig forøger radiusRom hvilken hans masse fordeles, hvilket fører til et større inertimoment end hvis hans arme var tæt på hans krop.

HvisL​₁ beregnes med armene udstrakte, ogL​₂efter at trække armene ind skal have den samme værdi (fordi vinkelmoment bevares), hvad sker der, hvis han mindsker sit inertimoment ved at trække i armene? Hans vinkelhastighedωstiger for at kompensere.

Katte udfører lignende bevægelser for at hjælpe dem med at lande på deres fødder, når de falder.

Ved at strække deres ben og hale øger de deres inertimoment og reducerer hastigheden på deres rotation, og omvendt kan de trække i benene for at mindske deres inerti og øge deres rotationshastighed. De bruger disse to strategier - sammen med andre aspekter af deres "retningsrefleks" - for at sikre, at deres fødder lander først, og du kan se forskellige faser af krølle op og strække sig ud i tidsforløbne fotografier af en kat landing.

Fortsætter parallellerne mellem lineær bevægelse og rotationsbevægelse har objekter også kinetisk rotationsenergi på samme måde som de har lineær kinetisk energi.

Tænk på en kugle, der ruller over jorden, begge roterer omkring dens centrale akse og bevæger sig fremad på en lineær måde: Den samlede kinetiske energi af kuglen er summen af ​​dens lineære kinetiske energiE​_k og dens roterende kinetiske energiE​_rådne. Parallellerne mellem disse to energier afspejles i ligningerne for begge, idet vi husker, at et objekts inertimoment er rotationsanalogen af ​​masse, og dens vinkelhastighed er rotationsanalogen af ​​lineær hastighedv​):

Du kan tydeligt se, at begge ligninger har nøjagtig samme form, med de passende rotationsanaloger erstattet af den roterende kinetiske energiligning.

For at beregne den roterende kinetiske energi skal du selvfølgelig erstatte objektet med et passende udtryk for inertimomentet i rummet forjeg. I betragtning af kuglen og modellering af objektet som en solid kugle er ligningen i dette tilfælde:

Den samlede kinetiske energi (E​_tot) er summen af ​​dette og boldens kinetiske energi, så du kan skrive:

For en 1 kg kugle, der bevæger sig med en lineær hastighed på 2 m / s, med en radius på 0,3 m og med en vinkelhastighed på 2π rad / s, ville den samlede energi være:

Afhængig af situationen kan et objekt kun have lineær kinetisk energi (for eksempel en kugle, der er faldet fra en højde uden nogen form for spin) eller kun roterende kinetisk energi (en kugle, der snurrer, men forbliver på plads)

Husk, at det erTotalenergi, der er bevaret. Hvis en kugle sparkes mod en væg uden indledende rotation, og den springer tilbage ved en lavere hastighed, men med et omdrejningstal, såvel som energien mistet for lyd og varme, da den kom i kontakt, er en del af den oprindelige kinetiske energi overført til roterende kinetisk energi, og det erkan ikkemuligvis bevæge sig så hurtigt, som det gjorde, før du hoppede tilbage.