I matematik er en sekvens en hvilken som helst række af tal arrangeret i stigende eller faldende rækkefølge. En sekvens bliver en geometrisk sekvens, når du er i stand til at opnå hvert nummer ved at gange det forrige nummer med en fælles faktor. For eksempel serien 1, 2, 4, 8, 16... er en geometrisk sekvens med den fælles faktor 2. Hvis du multiplicerer et tal i serien med 2, får du det næste nummer. I modsætning hertil er sekvensen 2, 3, 5, 8, 14, 22... er ikke geometrisk, fordi der ikke er nogen fælles faktor mellem tal. En geometrisk sekvens kan have en brøkdel af en fælles faktor, i hvilket tilfælde hvert på hinanden følgende tal er mindre end det, der gik forud for det. 1, 1/2, 1/4, 1/8... er et eksempel. Dens fælles faktor er 1/2.
Det faktum, at en geometrisk sekvens har en fælles faktor, giver dig mulighed for at gøre to ting. Den første er at beregne ethvert tilfældigt element i sekvensen (som matematikere gerne kalder "nth "element), og det andet er at finde summen af den geometriske sekvens op til
nelement. Når du summerer sekvensen ved at sætte et plustegn mellem hvert par af udtryk, forvandler du sekvensen til en geometrisk serie.Find det nte element i en geometrisk serie
Generelt kan du repræsentere enhver geometrisk serie på følgende måde:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
hvor "-en"er den første periode i serien og"r"er den fælles faktor. For at kontrollere dette skal du overveje serien i hvilken-en= 1 ogr= 2. Du får 1 + 2 + 4 + 8 + 16... det virker!
Efter at have etableret dette, er det nu muligt at udlede en formel for det niende udtryk i sekvensen (xn).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Eksponenten ern- 1 snarere endnfor at give mulighed for, at den første periode i sekvensen skrives somar0, hvilket er lig med "-en."
Kontroller dette ved at beregne den 4. periode i eksempelserien.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Beregning af summen af en geometrisk sekvens
Hvis du vil sammenfatte en divergerende sekvens, som er en med en fælles ration større end 1 eller mindre end -1, kan du kun gøre det op til et endeligt antal udtryk. Det er dog muligt at beregne summen af en uendelig konvergent sekvens, som dog er en med et fælles forhold mellem 1 og - 1.
For at udvikle den geometriske sumformel skal du starte med at overveje, hvad du laver. Du leder efter det samlede antal af følgende tilføjelser:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Hver periode i serien erarkogkgår fra 0 tiln− 1. Formlen for summen af serien gør brug af hoved-sigma-tegnet - ∑ - hvilket betyder at tilføje alle termer fra (k= 0) til (k = n − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
For at kontrollere dette skal du overveje summen af de første 4 termer i den geometriske serie, der starter ved 1 og har en fælles faktor 2. I ovenstående formel,-en = 1, r= 2 ogn= 4. Ved at tilslutte disse værdier får du:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
Dette er let at kontrollere ved selv at tilføje numrene i serien. Faktisk, når du har brug for summen af en geometrisk serie, er det normalt nemmere at tilføje tallene selv, når der kun er et par udtryk. Hvis serien har et stort antal udtryk, er det dog langt nemmere at bruge den geometriske sumformel.
