Lignende trekanter har samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse. Når trekanter er ens, har de mange af de samme egenskaber og egenskaber. Trekantes lighedssætninger specificerer de betingelser, hvorunder to trekanter er ens, og de beskæftiger sig med siderne og vinklerne på hver trekant. Når en bestemt kombination af vinkler og sider tilfredsstiller sætningerne, kan du betragte trekanterne som ens.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
Der er tre lighedssætninger, der specificerer under hvilke betingelser trekanter er ens:
- Hvis to af vinklerne er ens, er den tredje vinkel den samme, og trekanterne er ens.
- Hvis de tre sider er i de samme proportioner, er trekanterne ens.
- Hvis to sider er i de samme proportioner, og den inkluderede vinkel er den samme, er trekanterne ens.
AA, AAA og Angle-Angle sætninger
Hvis to af vinklerne på to trekanter er ens, er trekanterne ens. Dette bliver klart af observationen, at de tre vinkler i en trekant skal være op til 180 grader. Hvis to af vinklerne er kendt, kan den tredje findes ved at trække de to kendte vinkler fra 180. Hvis de tre vinkler af to trekanter er ens, har trekanterne den samme form og er ens.
SSS eller side-side-side sætning
Hvis alle tre sider af to trekanter er ens, er trekanterne ikke kun ens, de er kongruente eller identiske. For lignende trekanter skal de tre sider af to trekanter kun være proportionale. For eksempel, hvis en trekant har sider på 3, 5 og 6 tommer, og en anden trekant har sider på 9, 15 og 18 inches, hver af siderne i den større trekant er tre gange længden af en af siderne af den mindre trekant. Siderne er i forhold til hinanden, og trekanterne er ens.
SAS eller side-vinkel-side sætning
To trekanter er ens, hvis to af siderne af to trekanter er proportionale, og den inkluderede vinkel eller vinklen mellem siderne er den samme. For eksempel, hvis to af siderne på en trekant er 2 og 3 tommer, og de af en anden trekant er 4 og 6 tommer, siderne er proportionale, men trekanterne er muligvis ikke ens, fordi de to tredje sider kan være nogen længde. Hvis den inkluderede vinkel er den samme, så er alle tre sider af trekanterne proportionale, og trekanterne er ens.
Andre mulige vinkelsidekombinationer
Hvis en af de tre trekants lighedssætninger er opfyldt for to trekanter, er trekanterne ens. Men der er andre mulige sidevinkelkombinationer, der måske eller måske ikke garanterer lighed.
For konfigurationerne kendt som vinkel-vinkel-side (AAS), vinkel-side-vinkel (ASA) eller side-vinkel-vinkel (SAA), betyder det ikke noget, hvor store siderne er; trekanterne vil altid være ens. Disse konfigurationer reduceres til AA-sætningens vinkelvinkel, hvilket betyder, at alle tre vinkler er ens, og trekanterne er ens.
Konfigurationerne på side-side-vinkel eller vinkel-side-side sikrer dog ikke lighed. (Forveks ikke side-side-vinkel med side-vinkel-side; "siderne" og "vinklerne" i hvert navn henviser til den rækkefølge, du møder siderne og vinklerne.) I visse tilfælde, f.eks. for retvinklede trekanter, hvis to sider er proportionale, og vinkler, der ikke er inkluderet, er de samme, er trekanterne lignende. I alle andre tilfælde kan trekanterne være eller ikke være ens.
Lignende trekanter passer ind i hinanden, kan have parallelle sider og skaleres fra den ene til den anden. Det er vigtigt, at bestemme, om to trekanter er ens ved hjælp af trekantens lighedssætninger, når sådanne egenskaber anvendes til at løse geometriske problemer.