Sådan finder du lodrette og vandrette asymptoter

Når de udtrykkes på en graf, er nogle funktioner kontinuerlige fra negativ uendelighed til positiv uendelighed. Dette er dog ikke altid tilfældet: andre funktioner afbrydes ved et punkt med diskontinuitet eller slukker og kommer aldrig forbi et bestemt punkt på grafen. Lodrette og vandrette asymptoter er lige linjer, der definerer den værdi, som en given funktion nærmer sig, hvis den ikke strækker sig til uendelig i modsatte retninger. Vandrette asymptoter følger altid formlen y = C, mens lodrette asymptoter altid følger den lignende formel x = C, hvor værdien C repræsenterer enhver konstant. At finde asymptoter, uanset om disse asymptoter er vandrette eller lodrette, er en nem opgave, hvis du følger et par trin.

For at finde en lodret asymptote skal du først skrive den funktion, du ønsker at bestemme asymptoten for. Mest sandsynligt vil denne funktion være en rationel funktion, hvor variablen x er inkluderet et eller andet sted i nævneren. Når nævneren for en rationel funktion nærmer sig nul, har den som regel en lodret asymptote. Når du har skrevet din funktion ud, skal du finde værdien af ​​x, der gør nævneren lig med nul. Som et eksempel, hvis den funktion, du arbejder med, er y = 1 / (x + 2), ville du løse ligningen x + 2 = 0, en ligning, der har svaret x = -2. Der kan være mere end en mulig løsning til mere komplekse funktioner.

Når du har fundet x-værdien for din funktion, skal du tage funktionens grænse, når x nærmer sig den værdi, du fandt fra begge retninger. For dette eksempel, når x nærmer sig -2 fra venstre, nærmer sig y negativ uendelighed; når -2 nærmer sig fra højre, nærmer sig y sig positiv uendelighed. Dette betyder, at grafen for funktionen opdeles ved diskontinuiteten og hopper fra negativ uendelighed til positiv uendelighed. Hvis du arbejder med en mere kompleks funktion, der har mere end en mulig løsning, skal du tage grænsen for hver mulig løsning. Til sidst skal du skrive ligningerne af funktionens lodrette asymptoter ved at indstille x lig med hver af de værdier, der bruges i grænserne. I dette eksempel er der kun en asymptote: givet ved ligningen er den lodrette asymptote lig med x = -2.

Mens vandrette asymptote regler kan være lidt forskellige end for lodrette asymptoter, er processen med at finde vandrette asymptoter lige så enkel som at finde lodrette. Begynd med at skrive din funktion ud. Horisontale asymptoter kan findes i en lang række funktioner, men de vil igen sandsynligvis findes i rationelle funktioner. I dette eksempel er funktionen y = x / (x-1). Tag grænsen for funktionen, når x nærmer sig uendeligt. I dette eksempel kan "1" ignoreres, fordi den bliver ubetydelig, når x nærmer sig uendelig (fordi uendelighed minus 1 stadig er uendelig). Så funktionen bliver x / x, hvilket svarer til 1. Derfor er grænsen, når x nærmer sig uendeligt x / (x-1), lig med 1.

Brug grænseløsningen til at skrive din asymptote ligning. Hvis opløsningen er en fast værdi, er der en vandret asymptot, men hvis opløsningen er uendelig, er der ingen vandret asymptot. Hvis løsningen er en anden funktion, er der en asymptote, men den er hverken vandret eller lodret. I dette eksempel er den vandrette asymptote y = 1.

Når du beskæftiger dig med problemer med trigonometriske funktioner, der har asymptoter, skal du ikke bekymre dig: at finde asymptoter til disse funktioner er som simpelt som at følge de samme trin, som du bruger til at finde de vandrette og lodrette asymptoter af rationelle funktioner ved hjælp af de forskellige grænser. Men når du prøver dette, er det vigtigt at indse, at trig-funktioner er cykliske og som følge heraf kan have mange asymptoter.