Sådan finder du den største fælles faktor med to tal

At finde den største fælles faktor, eller GCF, af to tal er nyttigt i mange situationer i matematik, men især når det kommer til at forenkle brøker. Hvis du kæmper med dette eller finder fællesnævnere, kan det at lære to metoder til at finde fælles faktorer hjælpe dig med at nå det, du vil. For det første er det dog en god ide at lære om de grundlæggende faktorer; derefter kan du se på to tilgange til at finde fælles faktorer. Endelig kan du se på, hvordan du anvender din viden til at forenkle en brøkdel.

Faktorer er de tal, du multiplicerer sammen for at producere et andet tal. For eksempel er 2 og 3 faktorer på 6, fordi 2 × 3 = 6. Tilsvarende er 3 og 3 faktorer på 9, fordi 3 × 3 = 9. Som du måske ved, er primtal tal, der ikke har andre faktorer end dem selv og 1. Så 3 er et primtal, fordi de eneste to hele tal (heltal), der kan ganges sammen for at give 3 som svar, er 3 og 1. På samme måde er 7 et primtal, og det samme er 13.

På grund af dette er det ofte nyttigt at opdele et tal i "primære faktorer". Dette betyder at finde alle primtalfaktorerne for et andet tal. Det nedbryder dybest set antallet i dets grundlæggende "byggesten", hvilket er et nyttigt skridt mod at finde den største fælles faktor på to tal og er også uvurderlig, når det kommer til at forenkle kvadrat rødder.

Den enkleste metode til at finde den største fælles faktor med to tal er at blot liste alle faktorerne i hvert nummer og se efter det højeste antal, som begge deler. Forestil dig, at du vil finde den højeste fælles faktor på 45 og 60. Se først på de forskellige tal, du kan formere sammen for at producere 45.

Den nemmeste måde at starte er med de to, du ved, fungerer, selv for et primtal. I dette tilfælde ved vi 1 × 45 = 45, så vi ved, at 1 og 45 er faktorer på 45. Dette er den første og sidste faktor på 45, så du kan bare udfylde derfra. Find derefter ud af, om 2 er en faktor. Dette er let, fordi ethvert lige tal kan deles med 2, og ethvert ulige tal ikke. Så vi ved, at 2 ikke er en faktor på 45. Hvad med 3? Du skal være i stand til at få øje på, at 3 er en faktor 45, fordi 3 × 15 = 45 (du kan altid bygge videre på det, du har ved at udarbejde dette, for eksempel ved du, at 3 × 12 = 36, og at tilføje tre til dette fører dig til 45).

Dernæst er 4 en faktor på 45? Nej - du ved 11 × 4 = 44, så det kan ikke være! Næste, hvad med 5? Dette er en anden let, fordi ethvert tal, der ender på 0 eller 5, kan deles med 5. Og med dette kan du nemt se, at 5 × 9 = 45. Men 6 er ikke godt, fordi 7 × 6 = 42 og 8 × 6 = 48. Herfra kan du også se, at 7 og 8 ikke er faktorer på 45. Vi ved allerede, at 9 er det, og det er let at se, at 10 og 11 ikke er faktorer. Fortsæt denne proces, og du vil se, at 15 er en faktor, men intet andet er det.

Så faktorerne på 45 er: 1, 3, 5, 9, 15 og 45.

I 60 løber du gennem nøjagtig samme proces. Denne gang er tallet jævnt (så du ved, 2 er en faktor) og kan deles med 10 (så 5 og 10 er begge faktorer), hvilket gør tingene lettere. Efter at have gennemgået processen igen, skal du se, at faktorerne på 60 er: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60.

Sammenligning af de to lister viser, at 15 er den største fælles faktor på 45 og 60. Denne metode kan være tidskrævende, men den er enkel, og den fungerer altid. Du kan også starte med en hvilken som helst høj fælles faktor, du kan få øje på med det samme, og derefter bare se efter højere faktorer for hvert nummer.

Den anden metode til at finde GCF til to tal er at bruge primære faktorer. Processen med primfaktorisering er lidt lettere og mere struktureret end at finde alle faktorer. Lad os gennemgå processen i 42 og 63.

Processen med primfaktorisering involverer grundlæggende nedbrydning af tallet, indtil du kun har primtal. Det er bedst at starte med den mindste prime (to) og arbejde derfra. Så for 42 er det let at se, at 2 × 21 = 42. Arbejd derefter fra 21: Er 2 en faktor? Nej. Er 3? Ja! 3 × 7 = 21, og 3 og 7 er begge primtal. Dette betyder, at de primære faktorer på 42 er 2, 3 og 7. Den første "pause" brugte 2 for at komme til 21, og den anden brød dette ned i 3 og 7. Du kan kontrollere dette ved at multiplicere alle dine faktorer sammen og kontrollere, om du får det originale nummer: 2 × 3 × 7 = 42.

For 63 er 2 ikke en faktor, men 3 er, fordi 3 × 21 = 63. Igen opdeles 21 i 3 og 7 - begge prime - så du kender de vigtigste faktorer! Kontrol viser, at 3 × 3 × 7 = 63 efter behov.

Du finder den højeste fælles faktor ved at se på hvilke primfaktorer de to tal har til fælles. I dette tilfælde har 42 2, 3 og 7, og 63 har 3, 3 og 7. De har 3 og 7 til fælles. For at finde den højeste fælles faktor skal du multiplicere alle de fælles primære faktorer sammen. I dette tilfælde er 3 × 7 = 21, så 21 er den største fælles faktor på 42 og 63.

Det foregående eksempel kan også løses hurtigere på denne måde. Fordi 45 er delelig med tre (3 × 15 = 45), og 15 også kan deles med tre (3 × 5 = 15), er hovedfaktorerne på 45 3, 3 og 5. For 60 er den delelig med to (2 × 30 = 60), 30 er også delelig med to (2 × 15 = 30), og så er du tilbage med 15, som vi ved har tre og fem som primære faktorer, forlader 2, 2, 3 og 5. Sammenligning af de to lister er tre og fem de fælles primære faktorer, så den største fælles faktor er 3 × 5 = 15.

I tilfælde af at der er tre eller flere almindelige primære faktorer, multiplicerer du dem alle sammen på samme måde for at finde den største fælles faktor.

Hvis du får en brøkdel som 32/96, kan den gøre alle beregninger, der kommer efter den, meget komplicerede, medmindre du kan få øje på en måde at forenkle fraktionen på. At finde den laveste fælles faktor på 32 og 96 vil fortælle dig antallet at dele begge med for at få en enklere brøkdel. I dette tilfælde:

For 96 giver processen:

Det skal være klart, at 2⁵ = 32 er den højeste fælles faktor. At dele begge dele af brøken med 32 giver:

At finde fællesnævnere er en lignende proces. Forestil dig, at du skulle tilføje fraktionerne 15/45 og 40/60. Vi ved fra det første eksempel, at 15 er den højeste fælles faktor på 45 og 60, så vi kan straks udtrykke dem som 5/15 og 10/15. Da 3 × 5 = 15, og begge tællere også kan deles med fem, kan vi dele begge dele af begge brøker med fem for at få 1/3 og 2/3. Nu er de meget lettere at tilføje og se det