Volumenet af et tredimensionelt fast stof er mængden af tredimensionelt rum, det optager. Volumenet af nogle enkle figurer kan beregnes direkte, når overfladearealet på en af dens sider er kendt. Volumenet af mange former kan også beregnes ud fra deres overfladeareal. Volumenet af nogle mere komplicerede former kan beregnes med integreret beregning, hvis funktionen, der beskriver dets overfladeareal, er integrerbar.
Lad \ "S \" være et solidt med to parallelle overflader kaldet \ "baser. \" Alle tværsnit af det faste stof, der er parallelle med baserne, skal have samme areal som baserne. Lad \ "b \" være området for disse tværsnit, og lad \ "h \" være den afstand, der adskiller de to planer, som baserne ligger i.
Beregn volumen af \ "S \" som V = bh. Prismer og cylindre er enkle eksempler på denne type fast stof, men det inkluderer også mere komplicerede former. Bemærk, at volumenet af disse faste stoffer let kan beregnes, uanset hvor kompleks formen på basen er, så længe betingelserne i trin 1 holder og overfladearealet af basen er kendt.
Lad \ "P \" være et fast stof dannet ved at forbinde en base med et punkt kaldet en toppunkt. Lad afstanden mellem toppunktet og basen være \ "h, \" og afstanden mellem basen og et tværsnit, der er parallelt med basen, være \ "z. \" Desuden skal basisarealet være \ "b \" og arealet af tværsnittet være \ "c. \" For alle sådanne tværsnit er (h - z) / h = c / b.
Beregn volumen af \ "P \" i trin 3 som V = bh / 3. Pyramider og kegler er enkle eksempler på denne type fast stof, men det inkluderer også mere komplicerede former. Basen kan have en hvilken som helst form, så længe dens overfladeareal er kendt, og betingelserne i trin 3 holder.
Beregn volumenet af en kugle ud fra dens overfladeareal. Kuglens overfladeareal er A = 4? R ^ 2. Ved at integrere denne funktion med hensyn til \ "r, \" får vi kuglens volumen som V = 4/3? R ^ 3.