Når du begynder at udføre trigonometri og beregning, kan du støde på udtryk som synd (2θ), hvor du bliver bedt om at finde værdien afθ. At spille prøving og fejl med diagrammer eller en lommeregner for at finde svaret vil variere fra et trukket mareridt til helt umuligt. Heldigvis er dobbeltvinkelidentiteterne her for at hjælpe. Dette er specielle tilfælde af, hvad der er kendt som en sammensat formel, der bryder formernes funktioner (EN + B) eller (EN – B) ned i funktioner af bareENogB.
Dobbeltvinklede identiteter for sinus
Der er tre dobbeltvinklede identiteter, en hver for sinus-, cosinus- og tangentfunktionerne. Men sinus- og cosinusidentiteterne kan skrives på flere måder. Her er de to måder at skrive den dobbelte vinkelidentitet på for sinusfunktionen:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Dobbeltvinklede identiteter for Cosine
Der er endnu flere måder at skrive dobbeltvinkelidentiteten på cosinus på:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1-2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Dobbeltvinklet identitet for tangent
Barmhjertigt er der kun en måde at skrive den dobbelte vinkelidentitet for den tangente funktion:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Brug af dobbeltvinklede identiteter
Forestil dig, at du står over for en ret trekant, hvor du kender længden af dens sider, men ikke målene for dens vinkler. Du er blevet bedt om at findeθ, hvorθer en af trekantsvinklerne. Hvis hypotenusen i trekanten måler 10 enheder, måles siden ved siden af din vinkel 6 enheder og siden modsat vinklen måler 8 enheder, betyder det ikke, at du ikke kender målene forθ; du kan bruge din viden om sinus og cosinus plus en af dobbeltvinkelformlerne til at finde svaret.
Når du først har valgt en vinkel, kan du definere sinus som forholdet mellem den modsatte side over hypotenusen og cosinus som forholdet mellem den tilstødende side over hypotenusen. Så i det netop givne eksempel har du:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Du finder disse to udtryk, fordi de er de vigtigste byggesten til dobbeltvinkelformlerne.
Fordi der er så mange formler med dobbelt vinkel at vælge imellem, kan du vælge den der ser lettere ud at beregne og returnerer den type information, du har brug for. I dette tilfælde fordi du kender syndθog cosθallerede er det klart, at det mest bekvemme udtryk er:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Du kender allerede værdierne for sinθ og cosθ, så erstat dem i ligningen:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Når du har forenklet, har du:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
De fleste trigonometriske diagrammer er angivet i decimaler, så arbejd derefter divisionen repræsenteret af brøken for at konvertere den til decimalform. Nu har du:
\ sin (2θ) = 0,96
Endelig find den omvendte sinus eller buesine på 0,96, som er skrevet som synd −1(0.96). Eller med andre ord, brug din lommeregner eller et diagram til at tilnærme den vinkel, der har en sinus på 0,96. Som det viser sig, er det næsten nøjagtigt lig med 73,7 grader. Så 2θ= 73,7 grader.
Del hver side af ligningen med 2. Dette giver dig:
θ = 36,85 \ tekst {grader}