Hvis du ser udtrykkene 32 og 53, kan du med en blomstre meddele, at disse betyder "tre kvadreret" og "fem kubik", og være i stand til at gå omkring med at finde ækvivalente tal uden eksponenter, tallene repræsenteret af overskrifterne øverst til højre ovenfor. Disse tal er i dette tilfælde 9 og 125.
Men hvad hvis, i stedet for, sig en simpel eksponentiel funktion som y = x 3, skal du i stedet løse en ligning som y = 3x. Her vises x, den afhængige variabel, som en eksponent. Er der en måde at trække variablen ned fra aborre for lettere at håndtere den matematisk?
Faktisk er der, og svaret ligger i det naturlige supplement af eksponenter, som er sjove og nyttige mængder kendt som logaritmer.
Hvad er eksponenter?
En eksponent, også kaldet a strøm, er en komprimeret måde at udtrykke gentagne multiplikationer af et tal i sig selv. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Ethvert tal, der hæves til kraften 1, har samme værdi; ethvert tal med en eksponent på 0 er lig med 1. For eksempel 721 = 72; 720 = 1.
Eksponenter kan være negative og producere forholdet
x−n= 1 / (xn). De kan også udtrykkes som fraktioner, f.eks. 2(5/3). Hvis det udtrykkes som brøker, skal både tælleren og nævneren være heltal.Hvad er logaritmer?
Logaritmer eller "logs" kan betragtes som eksponenter udtrykt som noget andet end en magt. Det hjælper sandsynligvis ikke meget, så måske vil et eksempel eller to.
I udtrykket 103 = 1,000, tallet 10 er grundlag, og det hæves til den tredje magt (eller magt af tre). Du kan udtrykke dette som, "basen af 10 hævet til tredje magt svarer til 1.000."
Et eksempel på en logaritme er log10(1,000) = 3. Bemærk, at tallene og deres forhold til hinanden er de samme som i det foregående eksempel, men de er flyttet rundt. Med ord betyder dette, "logbasen 10 på 1.000 er lig med 3."
Mængden til højre er den kraft, som basen på 10 skal hæves til for at svare til argument, eller input af loggen, værdien i parentes (i dette tilfælde 1.000). Denne værdi skal være positiv, fordi basen - som kan være et andet tal end 10, men antages at være 10, når den udelades, f.eks. "Log 4" - også altid er positiv.
Nyttige logaritmeregler
Så hvordan kan du arbejde let mellem logfiler og eksponenter? Et par regler om logs opførsel kan komme i gang med eksponentproblemer.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Løsning for en eksponent
Med ovenstående oplysninger er du klar til at prøve at løse en eksponent i en ligning.
Eksempel: Hvis 50 = 4x, hvad er x?
Hvis du tager loggen til basen 10 på hver side og udelader eksplicit identifikation af basen, bliver dette log 50 = log 4x. Fra boksen ovenfor kender du, at log 4x = x log 4. Dette efterlader dig med
log 50 = x log 4 eller x = (log 50) / (log 4).
Ved hjælp af din valgte lommeregner finder du, at løsningen er (1.689 / 0.602) = 2.82.
Løsning af eksponentielle ligninger med e
De samme regler gælder, når basen er e, den såkaldte naturlig logaritme, som har en værdi på ca. 2,7183. Du skal også have en knap til dette på din lommeregner. Denne værdi får også sin egen notation: logex skrives simpelthen "ln x."
- Funktionen y = ex i, med e ikke en variabel, men en konstant med denne værdi, er den eneste funktion med en hældning svarende til sin egen højde for alle x og y.
- Ligesom log1010x = x, ln ex = x for alle x.
Eksempel: Løs ligningen 16 = e2,7x.
Som ovenfor er ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, så x = 2/77 / 2,7 = 1.03.