Forestil dig, at du bemander en kanon og sigter mod at smadre ned på fjendens slot, så din hær kan storme ind og gøre krav på sejr. Hvis du ved, hvor hurtigt kuglen bevæger sig, når den forlader kanonen, og du ved, hvor langt væk væggene er, hvilken lanceringsvinkel har du brug for for at skyde kanonen mod for at kunne ramme væggene?
Dette er et eksempel på et projektil bevægelsesproblem, og du kan løse dette og mange lignende problemer ved hjælp af de konstante accelerationsligninger for kinematik og nogle grundlæggende algebra.
Projektilbevægelseer, hvordan fysikere beskriver todimensionel bevægelse, hvor den eneste acceleration, det pågældende objekt oplever, er den konstante nedadgående acceleration på grund af tyngdekraften.
På jordens overflade den konstante acceleration-ener lig medg= 9,8 m / s2, og en genstand, der gennemgår projektilbevægelse, er ifrit faldmed dette som den eneste kilde til acceleration. I de fleste tilfælde vil det tage stien til en parabel, så bevægelsen vil have både en vandret og lodret komponent. Selvom det ville have en (begrænset) effekt i det virkelige liv, ignorerer heldigvis de fleste gymnasiefysiske projektilbevægelsesproblemer effekten af luftmodstand.
Du kan løse projektilbevægelsesproblemer ved hjælp af værdien afgog nogle andre grundlæggende oplysninger om den aktuelle situation, såsom projektilets indledende hastighed og den retning, det bevæger sig i. At lære at løse disse problemer er afgørende for at bestå de fleste indledende fysikklasser, og det introducerer dig til de vigtigste begreber og teknikker, du også har brug for i senere kurser.
Projektil bevægelsesligninger
Ligningerne for projektilbevægelse er de konstante accelerationsligninger fra kinematik, fordi tyngdeacceleration er den eneste kilde til acceleration, som du skal overveje. De fire hovedligninger, du har brug for for at løse ethvert projektil bevægelsesproblem, er:
v = v_0 + ved \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} ved ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Her,vstår for hastighed,v0 er starthastigheden,-ener acceleration (som er lig med den nedadgående acceleration afgi alle problemer med projektilbevægelser),ser forskydningen (fra startpositionen) og som altid har du tid,t.
Disse ligninger er teknisk set kun for en dimension, og virkelig kunne de repræsenteres af vektormængder (inklusive hastighedv, indledende hastighedv0 og så videre), men i praksis kan du bare bruge disse versioner separat, en gang ix-retning og en gang iy-retning (og hvis du nogensinde har haft et tredimensionelt problem, iz-retning også).
Det er vigtigt at huske, at disse erbruges kun til konstant acceleration, hvilket gør dem perfekte til at beskrive situationer, hvor tyngdekraftens indflydelse er den eneste acceleration, men uegnet til mange virkelige situationer, hvor yderligere kræfter skal være taget i betragtning.
I grundlæggende situationer er dette alt hvad du behøver for at beskrive et objekts bevægelse, men om nødvendigt kan du inkorporere andre faktorer, såsom højden, hvorfra projektilet blev lanceret, eller endda løse dem til det højeste punkt af projektilet på dets sti.
Løsning af problemer med projektilbevægelser
Nu hvor du har set de fire versioner af projektilbevægelsesformlen, som du skal bruge til løse problemer, kan du begynde at tænke på den strategi, du bruger til at løse en projektilbevægelse problem.
Den grundlæggende tilgang er at opdele problemet i to dele: en til den vandrette bevægelse og en til den lodrette bevægelse. Dette kaldes teknisk den vandrette komponent og lodrette komponent, og hver har et tilsvarende sæt størrelser, såsom vandret hastighed, lodret hastighed, vandret forskydning, lodret forskydning og snart.
Med denne tilgang kan du bruge kinematikligningerne og bemærke den tidter den samme for både vandrette og lodrette komponenter, men ting som den indledende hastighed vil have forskellige komponenter for den indledende lodrette hastighed og den indledende vandrette hastighed.
Den afgørende ting at forstå er, at for to-dimensionel bevægelse,nogenbevægelsesvinkel kan opdeles i en vandret og en lodret komponent, men når du gør dette, vil der være en vandret version af den aktuelle ligning og en lodret version.
Forsømmelse af virkningerne af luftmodstand forenkler projektilbevægelsesproblemer massivt, fordi den vandrette retning aldrig har nogen acceleration i et projektilbevægelsesproblem (frit fald), da tyngdekraftens indflydelse kun virker lodret (dvs. mod overfladen af Jorden).
Dette betyder, at den vandrette hastighedskomponent bare er en konstant hastighed, og bevægelsen stopper kun, når tyngdekraften bringer projektilet ned til jordoverfladen. Dette kan bruges til at bestemme flyvetid, fordi det er helt afhængigt afy-retningsbevægelse og kan udarbejdes udelukkende baseret på den lodrette forskydning (dvs. tidentnår den lodrette forskydning er nul, fortæller du tidspunktet for flyvningen).
Trigonometri i problemer med projektilbevægelse
Hvis det pågældende problem giver dig en startvinkel og en indledende hastighed, skal du bruge trigonometri til at finde de vandrette og lodrette hastighedskomponenter. Når du har gjort dette, kan du bruge metoderne beskrevet i det foregående afsnit til faktisk at løse problemet.
I det væsentlige opretter du en retvinklet trekant med hypotenusen skråt i startvinklen (θ) og hastighedens størrelse som længden, og derefter er den tilstødende side den vandrette komponent af hastigheden, og den modsatte side er den lodrette hastighed.
Tegn den retvinklede trekant som anvist, så ser du, at du finder de vandrette og lodrette komponenter ved hjælp af de trigonometriske identiteter:
\ tekst {cos} \; θ = \ frac {\ text {tilstødende}} {\ text {hypotenuse}}
\ tekst {sin} \; θ = \ frac {\ text {modsat}} {\ text {hypotenuse}}
Så disse kan arrangeres igen (og med modsat =vy og tilstødende =vxdvs. den lodrette hastighedskomponent henholdsvis den vandrette hastighedskomponent og hypotenusen =v0, starthastigheden) for at give:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Dette er hele den trigonometri, du skal gøre for at løse projektilbevægelsesproblemer: Tilslut startvinklen til ligning ved hjælp af sinus- og cosinusfunktionerne på din lommeregner og ganget med resultatet med projektil.
Så for at gå igennem et eksempel på at gøre dette med en starthastighed på 20 m / s og en startvinkel på 60 grader er komponenterne:
\ begynde {justeret} v_x & = 20 \; \ tekst {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ tekst {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ tekst {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ text {m / s} \ end {justeret}
Eksempel på projektilbevægelsesproblem: Et eksploderende fyrværkeri
Forestil dig, at et fyrværkeri har en sikring designet, så det eksploderer på det højeste punkt af sin bane, og det lanceres med en indledende hastighed på 60 m / s i en vinkel på 70 grader i vandret retning.
Hvordan ville du finde ud af, hvilken højdehdet eksploderer ved? Og hvad ville tiden fra lanceringen være, når den eksploderer?
Dette er et af mange problemer, der involverer den maksimale højde af et projektil, og tricket til at løse disse bemærker, at i den maksimale højdey-komponenten af hastigheden er 0 m / s et øjeblik. Ved at tilslutte denne værdi tilvy og vælge den mest passende af de kinematiske ligninger, kan du nemt tackle dette og ethvert lignende problem.
Først ser man på de kinematiske ligninger, denne springer ud (med abonnementer tilføjet for at vise, at vi arbejder i lodret retning):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Denne ligning er ideel, fordi du allerede kender accelerationen (-eny = -g), starthastigheden og startvinklen (så du kan finde ud af den lodrette komponentvy0). Da vi leder efter værdien afsy (dvs. højdenh) hvornårvy = 0, vi kan erstatte nul for den endelige lodrette hastighedskomponent og omarrangere forsy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Da det giver mening at kalde opadgående retningy, og siden accelerationen på grund af tyngdekraftenger rettet nedad (dvs. i -yretning), kan vi ændre-eny til -g. Endelig ringersy højdenh, vi kan skrive:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Så det eneste, du skal træne for at løse problemet, er den lodrette komponent i starthastigheden, som du kan gøre ved hjælp af den trigonometriske tilgang fra det foregående afsnit. Så med informationen fra spørgsmålet (60 m / s og 70 grader til den vandrette lancering) giver dette:
\ begin {align} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ text {m / s} \ end {align}
Nu kan du løse den maksimale højde:
\ start {align} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162.19 \ text {m} \ slut {justeret}
Så fyrværkeriet eksploderer cirka 162 meter fra jorden.
Fortsættelse af eksemplet: Flyvetid og tilbagelagt distance
Efter at have løst det grundlæggende i projektilbevægelsesproblemet udelukkende baseret på den lodrette bevægelse, kan resten af problemet let løses. Først og fremmest kan tiden fra lanceringen, hvor sikringen eksploderer, findes ved hjælp af en af de andre konstante accelerationsligninger. Ser man på mulighederne, følgende udtryk:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
har tidt, hvilket er hvad du vil vide; forskydningen, som du kender til det maksimale punkt for flyvningen; den indledende lodrette hastighed; og hastigheden på tidspunktet for den maksimale højde (som vi ved er nul). Så baseret på dette kan ligningen arrangeres igen for at give et udtryk for flyvetiden:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Så indsætte værdierne og løse fortgiver:
\ begin {align} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ text {m}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5,75 \; \ text {s} \ slut {justeret}
Så fyrværkeriet eksploderer 5,75 sekunder efter lanceringen.
Endelig kan du let bestemme den vandrede vandrede afstand baseret på den første ligning, som (i vandret retning) siger:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Dog bemærker, at der ikke er nogen acceleration ix-retning, dette er simpelthen:
v_x = v_ {0x}
Det betyder, at hastigheden ixretningen er den samme gennem hele fyrværkeriets rejse. I betragtning af detv = d/t, hvorder den tilbagelagte afstand, det er let at se detd = vt, og så i dette tilfælde (medsx = d):
s_x = v_ {0x} t
Så du kan erstattev0x med det trigonometriske udtryk fra tidligere skal du indtaste værdierne og løse:
\ begynde {justeret} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ tekst {m / s} × \ cos (70) × 5,75 \; \ tekst {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {justeret}
Så det vil rejse omkring 118 m før eksplosionen.
Yderligere problem med projektilbevægelse: Dud-fyrværkeriet
For et yderligere problem at arbejde på, forestil dig fyrværkeriet fra det foregående eksempel (starthastighed på 60 m / s lanceret ved 70 grader til vandret) eksploderede ikke på toppen af parabolen og lander i stedet på jorden ueksploderet. Kan du beregne den samlede flyvetid i dette tilfælde? Hvor langt væk fra lanceringsstedet i vandret retning lander det, eller med andre ord, hvad er det?rækkeviddeaf projektilet?
Dette problem fungerer stort set på samme måde, hvor de lodrette komponenter i hastighed og forskydning er de vigtigste ting, du skal overveje for at bestemme flyvetiden, og ud fra det kan du bestemme rækkevidde. I stedet for at arbejde igennem løsningen detaljeret kan du selv løse dette på baggrund af det foregående eksempel.
Der er formler for rækkevidden af et projektil, som du kan slå op eller udlede fra de konstante accelerationsligninger, men dette er ikke virkelig nødvendigt, fordi du allerede kender projektilets maksimale højde, og fra dette tidspunkt er det bare i frit fald under virkningen af tyngdekraft.
Dette betyder, at du kan bestemme den tid, fyrværkeriet tager at falde tilbage til jorden, og derefter tilføje dette til flyvetiden til den maksimale højde for at bestemme den samlede flyvetid. Fra da er det den samme proces at bruge den konstante hastighed i vandret retning ved siden af flyvetiden til at bestemme rækkevidden.
Vis, at flyvetiden er 11,5 sekunder, og rækkevidden er 236 m, og bemærk, at du bliver nødt til det beregne den lodrette komponent af hastigheden ved det punkt, den rammer jorden som et mellemprodukt trin.