I hverdagen bruger de fleste udtrykkenefartoghastighedombytteligt, men for fysikere er de eksempler på to meget forskellige typer mængder.
Mekanikproblemer beskæftiger sig med bevægelse af objekter, og mens du bare kan beskrive bevægelse i form af hastighed, er den specifikke retning, som noget går, ofte kritisk vigtig.
Tilsvarende kan de kræfter, der påføres genstande, komme fra mange forskellige retninger - tænk på de modsatte træk i et dragkamp, for eksempel - så fysikere, der beskriver situationer som denne, skal bruge mængder, der beskriver både "størrelsen" på ting som kræfter og i hvilken retning de handling. Disse mængder kaldesvektorer.
TL; DR (for lang; Har ikke læst)
En vektor har både en størrelse og en bestemt retning, men en skalar størrelse har kun en størrelse.
Vektorer vs. Skalarer
Hovedforskellen mellem vektorer og skalarer er, at en vektors størrelse ikke helt beskriver den; der skal også være en angivet retning.
Retningen af en vektor kan angives på adskillige måder, hvad enten det er via positive eller negative tegn foran den, der udtrykker den i form af komponenter (skalarværdier ved siden af den relevante
jeg, jogk"Enhedsvektor", som svarer til de kartesiske koordinater forx, yogzhenholdsvis), tilføjer en vinkel i forhold til en angivet retning (f.eks. "60 grader frax-axis ”) eller blot tilføje nogle ord for at beskrive retningen (f.eks.“ nordvest ”).I modsætning hertil er en skalar kun vektorens størrelse uden yderligere notation eller information - f.eks. Er hastighed en skalarækvivalent med hastighedsvektoren. Fra et matematisk perspektiv er det den absolutte værdi af vektoren.
Imidlertid er mange mængder, såsom energi, tryk, længde, masse, effekt og temperatur eksempler på skalarer, der ikke kun er størrelsen af en tilsvarende vektor. Du behøver ikke at kende massens "retning" for eksempel for at have et komplet billede af det som en fysisk egenskab.
Der er et par kontraintuitive fakta, som du kan forstå, når du kender forskellen mellem en skalar og en vektor, såsom ideen om, at noget kunne have en konstant hastighed, men en konstant ændring hastighed. Forestil dig en bil, der kører med en konstant hastighed på 10 km / t, men i en cirkel. Fordi retning af en vektor er en del af dens definition, er bilens hastighedsvektor altid ændrer sig i dette eksempel, på trods af at vektorens størrelse (dvs. dens hastighed) er konstant.
Eksempler på vektormængder
Der er mange eksempler på vektorer i fysik, men nogle af de mest kendte eksempler er kraft, momentum, acceleration og hastighed, som alle er stærke i klassisk fysik. En hastighedsvektor kunne vises som 25 m / s mod øst, -8 km / t iy-retning,v= 5 m / sjeg+ 10 m / sj, eller 10 m / s i retning 50 grader frax-akse.
Momentum-vektorer er et andet eksempel, du kan bruge til at se, hvordan størrelsen og retningen af vektoren vises i fysik. Disse fungerer ligesom hastighedsvektoreksemplerne med 50 kg m / s mod vest, -12 km / t izretning,s= 12 kg m / sjeg- 10 kg m / sj- 15 kg m / skog 100 kg m / s 30 grader frax-eksempel på eksempler på, hvordan de kunne vises. De samme grundlæggende punkter gælder for visning af accelerationsvektorer, hvor den eneste forskel er enheden på m / s2 og det almindeligt anvendte symbol for vektoren,-en.
Kraft er den sidste af disse eksempler på vektorudtryk, og mens der er mange ligheder ved hjælp af cylindriske koordinater (r, θ, z) i stedet for kartesiske koordinater kan hjælpe med at vise andre måder, de kan vises på. For eksempel kan du skrive en kraft somF= 10 N.r+ 35 N𝛉, for en kraft med komponenter i radial retning og azimutal retning, eller beskriv tyngdekraften på et objekt på 1 kg på jorden som 10 N i -rretning (dvs. mod planetens centrum).
Vektor notation i diagrammer
I diagrammer vises vektorer ved hjælp af pile med størrelsen af vektoren repræsenteret af pilens længde og dens retning repræsenteret af den retning, pilen peger i. For eksempel viser en større pil, at en kraft er større (dvs. flere newtoner eller en større størrelse) end en anden kraft.
For en vektor, der viser bevægelse, såsom momentum eller hastighedsvektor, ernul vektor(dvs. en vektor, der ikke repræsenterer hastighed eller momentum) vises ved hjælp af en enkelt prik.
Det er værd at bemærke, at fordi længden af pilen repræsenterer størrelsen på vektoren og dens retning repræsenterer vektorens retning. Det er nyttigt at prøve at være rimelig nøjagtig, når du laver et vektordiagram. Det behøver ikke at være perfekt, men hvis vektoren-ener dobbelt så stor som vektorenb, pilen skal være omtrent dobbelt så lang.
Vectoraddition og subtraktion
Vectoraddition og vector-subtraktion er lidt mere kompliceret end at tilføje og trække skalarer, men du kan nemt hente begreberne. Der er to hovedtilgange, du kan bruge, og hver har potentielle anvendelser afhængigt af det specifikke problem, du tackler.
Den første og den nemmeste at bruge, når du har fået to vektorer i komponentform, er at blot tilføje matchende komponenter på samme måde som du vil tilføje almindelige skalarer. For eksempel, hvis du har brug for at tilføje de to kræfterF1 = 5 Njeg+ 10 NjogF2 = 6 Njeg+ 15 Nj+ 10 Nk, vil du tilføjejegkomponenter, derefterjkomponenter og endeligkkomponenter som følger:
\ begynde {justeret} \ bm {F} _1 + \ bm {F} _2 & = (5 \; \ tekst {N} \; \ fed {i} + 10 \; \ tekst {N} \; \ fed { j}) + (6 \; \ text {N} \; \ fed {i} + 15 \; \ tekst {N} \; \ fed {j} + 10 \; \ tekst {N} \; \ fed { k}) \\ & = (5 \; \ tekst {N} + 6 \; \ text {N}) \ fed {i} + (10 \; \ tekst {N} + 15 \; \ tekst {N}) \ fed {j} + (0 \; \ tekst {N} + 10 \; \ text {N}) \ fed {k} \\ & = 11 \; \ tekst {N} \; \ fed {i} + 25 \; \ tekst {N} \; \ fed {j} + 10 \; \ tekst {N} \; \ fed {k} \ end {justeret}
Vector subtraktion fungerer på nøjagtig samme måde, bortset fra at du trækker mængderne i stedet for at tilføje dem. Vector tilføjelse er også kommutativ, ligesom almindelig tilføjelse med reelle tal, så-en + b = b + -en.
Du kan også udføre vektortilføjelse ved hjælp af pilediagrammer ved at lægge vektorpilene hoved til hale og derefter tegning af en ny vektorpil til summen af vektorerne, der forbinder halen på den første pil med hovedet på sekund.
Hvis du har en simpel vektortilføjelse med en ix-retning og en anden iy-retning, diagrammet danner en retvinklet trekant. Du kan fuldføre vektortilsætningen og bestemme den resulterende vektors størrelse og retning ved at "løse" trekanten ved hjælp af trigonometri og Pythagoras 'sætning.
Prikproduktet og tværproduktet
Multiplikation af vektorer er lidt mere kompliceret end skalar multiplikation for reelle tal, men de to vigtigste former for multiplikation er prikproduktet og krydsproduktet. Prikproduktet kaldes det skalære produkt og defineres som:
\ bm {u} \; ∙ \; \ bm {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
eller
\ bm {u} \; ∙ \; \ bm {v} = \ lvert \ bm {u} \ rvert \ lvert \ bm {v} \ rvert \ text {cos} (θ)
hvorθer vinklen mellem de to vektorer, og underskrifterne 1, 2 og 3 repræsenterer den første, anden og tredje komponent af vektoren. Resultatet af prikproduktet er en skalar.
Tværproduktet er defineret som:
\ bm {a} \; \ bold {×} \; \ bm {b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
med kommaerne, der adskiller komponenterne i resultatet i forskellige retninger.