ENvektorer en størrelse, der har både størrelse og retning forbundet med sig. Dette er anderledes end enskalarmængde, som kun svarer til en størrelse. Hastighed er et eksempel på en vektormængde. Det har både en størrelsesorden (hvor hurtigt noget går) og en retning (den retning det kører.)
Vektorer tegnes ofte som pile. Pilens længde svarer til vektorens størrelse, og pilens punkt angiver retningen.
Der er to måder at arbejde med vektoraddition og subtraktion på. Den første er grafisk ved at manipulere selve vektorernes pilediagrammer. Den anden er matematisk, hvilket giver nøjagtige resultater.
Grafisk vektoraddition og subtraktion i en dimension
Når du tilføjer to vektorer, placerer du halen på den anden vektor på spidsen af den første vektor, mens du opretholder vektororientering. Detresulterende vektorer en vektor, der begynder ved halen af den første vektor og peger i en lige linje til spidsen af den anden vektor.
Overvej f.eks. At tilføje vektorerENogBsom peger i samme retning langs en linje. Vi placerer dem "tip to tail" og den resulterende vektor,
C, peger i samme retning og har en længde, der er summen af længderne påENogB.At fratrække vektorer i en dimension er stort set det samme som at tilføje, bortset fra at du "vender" den anden vektor. Dette skyldes direkte, at subtraktion er det samme som at tilføje et negativt.
Matematisk vektoraddition og subtraktion i en dimension
Når man arbejder i en dimension, kan retning af en vektor angives med et tegn. Vi vælger en retning for at være den positive retning (typisk vælges "op" eller "højre" som positiv) og tildeler enhver vektor, der peger i den retning, som en positiv størrelse. Enhver vektor, der peger i negativ retning, er en negativ størrelse. Når du tilføjer eller trækker vektorer, skal du tilføje eller trække deres størrelser med de relevante tegn vedhæftet.
Antag i det forrige afsnit, vektorENhavde en størrelse på 3 og vektorBhavde en styrke på 5. Derefter resulterende vektorC = A + B =8, en vektor af størrelsesorden 8, der peger i den positive retning og den resulterende vektorD = A - B =-2, en vektor af størrelsesorden 2, der peger i negativ retning. Bemærk, at dette er i overensstemmelse med de grafiske resultater fra før.
Tip: Pas på kun at tilføje vektorer af samme type: hastighed + hastighed, kraft + kraft og så videre. Som med al matematik i fysik skal enhederne matche!
Grafisk vektoraddition og subtraktion i to dimensioner
Hvis den første vektor og den anden vektor ikke er langs den samme linje i det kartesiske rum, kan du bruge den samme "tip to tail" -metode til at tilføje eller trække dem. For at tilføje to vektorer skal du blot forestille dig at løfte den anden og placere halen på spidsen af den første, mens du opretholder dens retning som vist. Den resulterende vektor er en pil, der begynder ved halen af den første vektor og slutter ved spidsen af den anden vektor:
Ligesom i en dimension svarer det at vende og tilføje at trække en vektor fra en anden. Grafisk ser det ud som følgende:
•••Dana Chen | Videnskabelig
Bemærk: Nogle gange vises vektortilføjelse grafisk ved at sætte halerne på de to addendvektorer sammen og skabe et parallelogram. Den resulterende vektor er derefter diagonalen for dette parallelogram.
Matematisk vektoraddition og subtraktion i to dimensioner
Følg disse trin for at tilføje og trække vektorer i to dimensioner matematisk:
Nedbryde hver vektor i enx-komponent, undertiden kaldet den vandrette komponent, og eny-komponent, undertiden kaldet den lodrette komponent, ved hjælp af trigonometri. (Bemærk at komponenter kan være enten negative eller positive afhængigt af hvilken retning vektoren peger)
Tilføjx-komponenter af begge vektorer sammen, og tilføj dereftery-komponenter af begge vektorer sammen. Dette resultat giver digxogykomponenter i den resulterende vektor.
Størrelsen af den resulterende vektor kan findes ved hjælp af Pythagoras sætning.
Retningen af den resulterende vektor kan findes via trigonometri ved hjælp af den inverse tangentfunktion. Denne retning er typisk givet som en vinkel i forhold til det positivex-akse.
Trigonometri i vektoraddition
Husk forholdet mellem siderne og vinklerne på en ret trekant fra trigonometri.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ tekst {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ tekst {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Pythagoras sætning:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Projektilbevægelse giver klassiske eksempler på, hvordan vi kan bruge disse forhold til både at nedbryde en vektor og bestemme den endelige størrelse og retning af en vektor.
Overvej to personer, der spiller fangst. Antag, at du får at vide, at bolden kastes fra en højde på 1,3 m med en hastighed på 16 m / s i en vinkel på 50 grader i forhold til vandret. For at begynde at analysere dette problem skal du nedbryde denne indledende hastighedsvektor ixogykomponenter som vist:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ gange \ cos (50) = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ gange \ sin (50) = 12,3 \ tekst {m / s}
Hvis fangeren savner bolden, og den rammer jorden, med hvilken endelig hastighed rammer den?
Ved hjælp af kinematiske ligninger er vi i stand til at bestemme, at de endelige komponenter i kuglens hastighed er:
v_ {xf} = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13.3 \ text {m / s}
Pythagoras sætning giver os mulighed for at finde størrelsen:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {m / s}
Og trigonometri giver os mulighed for at bestemme vinklen:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = - 52.2 \ grad
Eksempel på vektoraddition og subtraktion
Overvej en bil, der afrunder et hjørne. Formodevjegfor bilen er ix-retning med styrke 10 m / s, ogvfer i en 45-graders vinkel med det positivex-aks med størrelse 10 m / s. Hvis denne ændring i bevægelse sker på 3 sekunder, hvad er størrelsen og retningen af bilens acceleration, når den drejer?
Husk den acceleration-ener en vektormængde defineret som:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Hvorvfogvjeger henholdsvis endelige og indledende hastigheder (og er derfor også vektorstørrelser).
For at beregne vektorforskellenvf - vjeg,vi skal først nedbryde de indledende og endelige hastighedsvektorer:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7.07 \ tekst {m / s}
Så trækker vi finalenxogykomponenter fra begyndelsenxogykomponenter til at hente komponenter afvf - vjeg:
Så trækker vixogykomponenter:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7,07 \ tekst {m / s}
Dele derefter hver gang for at få komponenterne i accelerationsvektoren:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
Brug Pythagoras sætning til at finde størrelsen på accelerationsvektoren:
a = \ sqrt {(- 0.977) ^ 2 + (2.36) ^ 2} = 2.55 \ text {m / s} ^ 2
Endelig skal du bruge trigonometri til at finde retningen på accelerationsvektoren:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Big) = 113 \ grad